2025高考数学二轮专题复习思想方法第1讲函数与方程思想 .docx
高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.
第1讲函数与方程思想
思想概述函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
方法一运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
例1(1)已知函数f(x)=(3a-1)x+4a(x1),ax(x≥1),满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2)](
A.17，1
C.16，1
思路分析[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1左侧的函数值不小于右侧的函数值.
答案C
解析对任意的实数x1≠x2，
都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)0，
即f(x1
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数，可得3
解得a∈16
批注在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点.
(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cosx是“π3同比不增函数”，则实数k的取值范围是(
A.3π，+
C.-3π，
思路分析f(x)为“π3同比不增函数”→fx+π3≤f(x)
答案B
解析因为函数f(x)=kx+cosx是“π3同比不增函数”
所以fx+π3≤f(
即kx+π3+cosx+π3
故kπ3≤cosx
=cosx-cos
=32sinx+12cosx=sinx
又因为sinx+π
因此kπ3≤-1，故k≤-3π，即k
批注本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的最值问题.
[规律方法]解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可.
方法二利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.
例2(1)已知函数f(x+2)=log3(3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为()
A.(-∞，-2]
B.-2
C.(-∞，-2]∪[0，+∞)
D.(-∞，-2]∪4
思路分析解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.
答案B
解析设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，
则其定义域为R，
因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，
所以g(x)为偶函数，
所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，
所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
设y=3x+3-x，
则y=3xln3-3-xln3=(3x-3-x)ln3，
令y0，则3x-3-x0，得x0，
所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，
因为函数y=log3x为增函数，
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，
因为f(a-1)≥f(2a+1)，
所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，
所以(a-3)2≥(2a-1)2，化简得(a+2)(3a-4)≤0，
解得-2≤a≤43
所以实数a的取值范围为-2，
(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2023(x-1)=-1，(y-1)3+2023(y-1)=1，则x+y=.?
思路分析观察两方程形式特征→借助函数f(t)=t3+2023t的单调性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.
答案2
解析令f(t)=t3+202