哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题.doc

哈尔滨工业大学2007级代数与几何期末考试试题 哈尔滨工业大学2007 （此卷满分50分） ????注：本试卷中、、分别表示的秩，的转置矩阵、的伴随矩阵；表示单位矩阵. 一、填空题（每小题2分，共10分） ????1．若矩阵满足，则的特征值只能是???????. ????2．在空间直角坐标系中方程的图形是???????????. ????3．向量组?的秩为????????? ????4．若矩阵满足，是行满秩阵，则???????. 5．空间直角坐标系中曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 . 二、选择题（每小题2分，共10分） ????1．设是矩阵，则方程组有唯一解的充要条件是?????????【???】 ???（A）；??????????（B）； ???（C）；??????????????（D）. ????2．设有维列向量组（I）;?可由向量组（II）?线性表示，则?????????????????????????????????????????????????????????????????????【???】 ???（A）若（I）线性无关，则（II）线性无关； ???（B）若（I）线性相关，则（II）线性相关； ???（C）若（I）线性无关，则；??????（D）若（II）线性无关，则. ????3．设，则必有??????????????????????????????????????????????【???】 ???（A）是正交阵；???????????????????（B）是正定阵； ???（C）是对称阵；???????????????????（D）. ????4．实二次型正定的充要条件是?【???】 ???（A）；?????（B）；?????（C）；?????（D）. ????5．设,?B都是阶实对称矩阵，则下列结论正确的是???????????????????【???】 ???（A）若A与B等价，则A与B相似；??（B）若A与B相似，则A与B合同； ???（C）若A与B合同，则A与B相似；??（D）若A与B等价，则A与B合同. 三、（本题5分） ????已知列向量组是的基，?也是的基，求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标. 四、（本题5分） ????设矩阵与相似，求. 五、（本题6分） ????已知，其中，求. 六、（本题6分） ????已知三阶实对称矩阵A的每行元素之和都等于2，且秩. ???（1）用正交变换将二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵. ???（2）求,?其中m是大于等于1的自然数. 七、（本题5分） ????设是阶方阵，，试证：若存在自然数使，则. 八、（本题3分） ????设实矩阵，，是的列向量组.?实向量是齐次线性方程组的基础解系.?试证：向量组 线性无关. 参考答案 ? 1、2.???2、双叶双曲面.???3、????4、.???5、. 二、选择题 1、A.????2、C.????3、?D.????4、B.????5、B. 三、?解：由?????????? 知由基到基的过渡矩阵为 在基下的坐标为 四、解：由与相似，知是的特征值，所以 ，. 进而，由此得 解得?. 五、解：.?由，得， 整理得.?由 ?知可逆， 且???????????????， 故 . 六、解：（1）因的每行元素之和都等于2，所以是的属于特征值2的特征向量.?因，所以是A特征值,?对应于有两个线性无关的特征向量. ????设是A的属于特征值的特征向量.?因实对称知X与正交，即 . 解得是A的属于特征值的特征向量，规范正交化得 . 将的属于特征值2的特征向量规范正交化得?. ????令????????， 则P为正交矩阵，在正交变换下， . ???（2）， ??? 七、?证：因，所以存在可逆矩阵使 其中?. 于是??故从而. 八、?证法1：设 ????????（1） 因是齐次线性方程组的基础解系，用在左边乘（1）式两边得 ， 进而 ， 故，再由知 ????????????????????????? 由（1）知 ， 由是基础解系，从而线性无关，于是 ， 故线性无关.??????????????????????????????????? ????证法2：设 ?????????（1） 因是齐次线性方程组的基础解系，所以 于是 . 由知线性无关，故???????????? 的证明同上. ????证法3：设 ?????????（1） 得关于的齐次线性方程组 系数行列式 ???????????????????????? 的证明同上.