哈尔滨工业大学至学数学分析期末考试试题A.doc

哈尔滨工业大学2004至2005学年数学分析期末考试试题A ??哈尔滨工业大学2004 -2005??学年?秋?季学期 ?工科数学分析期末考试试卷?（答案）?试题卷（A）??考试形式（开、闭卷）：闭 ?????答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%?? 一．选择题（每题2分，共10分） 1．下列叙述中不正确者为（D?） ??（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。 ??（B）如果，则一定有。 ??（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。 ??（D）如果函数?在点处导数为，则必在该点处取得极值。 2．设在[0，1]上则下列不等式正确者为（?B?） ??（A）?????（B） ??（C）?????（D） 3．若在上可积，则下列叙述中错误者为（D） ??（A）连续?????????????????（B）在上可积 ??（C）在上由界????????????（D）在上连续 4．若，则（D） （A）? ??（B）? （C）? （D） 5．（D） ??（A）??????????????????（B） （C）?????????????????（D） 二．填空题（每题2分，共10分） 1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。 2．的全部渐近线方程为：。 3．摆线处的切线方程为：。 4．=：??1?。 5．设在上可导，， 则=： 三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分） ???????????????????????????????????????????????????????? 1．若?，求 ???解：2，? ???????则 2．， 解：， 3.? ?解：? ??????= = 4．? 解：? ????????? 5.?已知，求 ???解： ???????=， ??????所以。故 四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10分）???????????? ??1.已知数列，， 求证：收敛，并且 证明：1)证有界 因为,所以。假设， 则。故有界。 2）证单调 因为，故为单调上升数列。 由1）和2）?知道收敛。设，由，所以 有解得。而且为单调递增数列，所以。故。 2．设，曲线?与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？ 解：?， ?????由得，。当时， 故当时，达到极大值，且为最大值。 五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分） ????????????????????????????????????????????????????????????? 1.证明方程至少有一个不超过的正根。 证明：设，显然它在上连续。 （i）?????????????????????若，则即为满足条件的根。 （ii）???????????????????若，则。而， ???由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。 2.???????设函数且，试证： 证明：?由?知道，所以。 因为，故由积分中值定理知：，使得 ，即。 3.???????设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至少存在一点，使 证明：将在与处展成一阶泰勒公式 ??????????(1) ???????????(2) 令，注意到，(1),(2)有 ?????????????????????(3) ?????????????????????(4) (4)- (3)?得： 所以： 取，即有。 4.?设在区间上连续?，且 证明：存在一个使得 证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即 =