因式分解经典讲义(精).doc

可以失败，但不可以放弃 第二章 分解因式 【知识要点】 1．分解因式 （1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。 ②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。 ③分解因式要分解到不能再分解为止。 2．分解因式与整式乘法的关系 整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。 3．提公因式法分解因式 （1）公因式：几个多项式__________的因式。 （2）步骤：①先确定__________，②后__________________。 （3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。 ②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。 4．运用公式法分解因式 （1）平方差公式：_________________________ （2）完全平方公式：_________________________ 注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。 【考点分析】 考点一：利用提公因式法分解因式及其应用 【例1】分解因式： （1） （2） （3） （4） 解析：（1）题先提一个“”号，再提公因式；（2）题的公因式为； （3）题的公因式为； （4）题的公因式为。 答案：（1）； （2）； （3）； （4）。 【例2】（1）已知，，求的值。 （2）已知，，求的值。 解析：（1）题：，所以考虑整体代入求该代数式的值； （2）题：，整体代入求值时注意符号。 答案：（1） （2） 【随堂练习】 1．分解因式： （1） （2） （3） （4） 2．不解方程组，求的值 注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。 （2）当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1，而不是没有。 （3）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。 （4）利用分解因式整体代入往往应用于代数式的求值问题。 考点二：利用平方差公式分解因式及其应用 【例3】分解因式： （1） （2） 解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式； （2）题：，所以符合平方差公式，此题注意分解完全。 答案：（1）； （2）。 【例4】计算：（1）； （2）. 解析：（1）题：原式中每一个因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。 （2）题：先化简，再使用平方差公式。 答案：（1）； （2）。 【例5】利用因式分解说明：能被整除。 解析：对于符号相反的二项式，我们考虑使用平方差公式。此种题型应先将两项化为底数相同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。 所以能被140整除。 【随堂练习】 1．分解因式： （1） （2） 2. 利用分解因式说明：能被60整除. 注：（1）平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反； （2）公式中的可以是具体数，也可以是代数式； （3）在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。 考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用 【例6】（1）分解因式： （2）已知是完全平方式，求的值。 （3）计算：. 解析：（1）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解。 （2）题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）。 （3）题：。 答案：（1）； （2）； （3） 【例7】（四川·成都）已知，那么的值是________。 解析：原式的前三项可以进行因式分解，分解为，再将变形为，整体代入求值。 答案：1． 【随堂练习】 1．（1）分解因式： （2）若多项式能运用完全平方差公式进行因式分解，求的值。 （3） 2．（1）已知：，，求代数式。 （2）当时，求代数式的值。 注：（1）完全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍（或其相反数）； （2）公式中的可以是具体数，也可以是代数式； 考点四：综合