一道不等式题的再探究.pdf

108 数学通讯——2O13年第 l1、12期(上半月) ·课外园地 · 通过对这样一道优美的不等式竞赛新题展开 三式叠乘 ，有 (n。+2b+ )(63+2c+ 不断发问、深入思考、持续探究训练形式，坚持下 9 o h)(c3+2a+南 ≥64abc≥64· 去，定会提升我们提出、分析和解决数学 问题的能 力，扩展数学视野、优化数学思维品质，感悟数学 一 般地，将变式 2推广到，z个字母，易得 变化的奥妙所在． 变式3 已知 口(i=1，2，…，n，n≥2)是满足 Ⅱa≥1的正数，规定口井一a，求证： (收稿 日期 ：2013—06—25) f1 21+寿f‘‘I1)≥4”． 一 道不等式题的再探究 李 歆 (陕西省武功县教育局教研室，712200) 2008年德国数学奥林匹克有如下一题： 故 ： ． 问题 1 求最小的常数 c，使得对所有的实数 考虑到不等式 ① 等价变形后 ，无法得到一个 z，Y，有 1+ (z+ )。≤ c(1+X。)(1+Y) ① 一 元不等式 ，因此上述解法不能移植到①式，需要 再探究其它解法． 文[1]、文[2]、文[3]、文[41分别对该题给出 解法2 由熟知的不等式(口+b+f)≥3( 了各具特色的解法 ，但 由于这些解法所用到的知 +bc+∞)得 识含量以及技巧性都 比较高，因此一般学生难 以 (1+ z。)。= (1十 1+ 。)。 接受．为了寻找适合众多学生的别的解法 ，笔者从 降低问题难度的角度人手 ，运用减元策略，将上述 二元的问题转化为一元问题 ： ≥3(丢×1十1×+z。×1) 问题 2 求最小的常数 C，使得对所有的实数 = ÷(1+4。)， X，有 1+4z ≤ c(1+X。)。 ② 即得1+4≤ (1+z。)。，故c一÷． 很显然，② 式是含有参数 的一元不等式，容易 受解法 2的启发，联想到对 (1一z。)。的放缩， 想到不等式的解法．