导学案数学第八章阶段提升课.docx
阶段提升课
题型一空间几何体的表面积、体积
1.解题步骤:计算空间几何体的表面积和体积,首先要准确确定几何体的基本量,如球的半径,几何体的棱长、高等,然后准确代入相关的公式计算.
2.注意事项:
(1)结合几何体的特点,能用割补(分割或补形,转化为易计算的几何体)法.
(2)灵活运用等积法进行转换.
(3)特别是特殊的柱、锥、台,要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用.
3.核心素养:数学运算、直观想象、逻辑推理.
【典例1】(1)已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等,且它们的侧棱长也相等.若直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1,斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2,则()
A.V1S
B.V1S
C.V1S
D.V1S1
【解析】选A.设棱柱的底面周长为c,底面面积为S,侧棱长为l,斜棱柱的高为h,
则V1S1=S·lc·l=Sc,而V2=S·h,斜棱柱各侧面的高均不小于
于是,有V2S2S·?c·
(2)已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S,则其内接正四棱柱的体积为__________.?
【解析】如图所示,设圆柱OO1为等边圆柱,正四棱柱ABCDA1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱.设等边圆柱的底面半径为r,则高h=2r.
因为S=S侧+2S底=2πrh+2πr2=6πr2,
所以r=S6π.又正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底边AB=2rsin45°=2r
所以正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为
V=S底·h=(2r)2·2r=4r3=4S6π3=S6πS
故该圆柱的内接正四棱柱的体积为S6π
答案:S
(3)已知三棱锥ABCD的表面积为S,其内有半径为r的内切球O(球O与三棱锥ABCD的每个面都相切,即球心O到三棱锥ABCD每个面的距离都为r),则三棱锥ABCD的体积为________.?
【解析】连接AO,BO,CO,DO(图略),则三棱锥ABCD被分割成为四个小三棱锥:OABC,OABD,OACD,OBCD,并且这四个小三棱锥的顶点都为O,高都为r,底面分别为△ABC,△ABD,△ACD,△BDC.故有:
VABCD=VOABC+VOABD+VOACD+VOBCD
=13S△ABC·r+13S△ABD·r+13S△ACD·r+13S△BCD·r=13(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD
答案:13
【总结升华】
空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解.
题型二空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系
1.问题类型:证明直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直.
2.解题关键:空间想象能力.
3.核心素养:直观想象、逻辑推理.
【典例2】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,E分别是AA1,AC,AB的中点,求证:
(1)平面MEN∥平面A1BC;
(2)A1C⊥C1D;
(3)平面A1EC⊥平面A1CD.
【证明】(1)因为M,N,E分别是AA1,AC,AB的中点,所以MN∥A1C,ME∥A1B.
所以MN∥平面A1BC,ME∥平面A1BC,
又因为MN∩ME=M,
所以平面MEN∥平面A1BC.
(2)因为BC⊥平面CDD1C1,C1D?平面CDD1C1,
所以BC⊥C1D.
又在平面CDD1C1中,C1D⊥CD1,
BC∩CD1=C,
所以C1D⊥平面BCD1A1,
又因为A1C?平面BCD1A1,
所以A1C⊥C1D.
(3)连接A1D,取A1D中点F,取A1C中点O,连接AF,OF,OE,则AF⊥A1D.
因为CD⊥平面A1AD,AF?平面A1AD,
所以AF⊥CD,
又CD∩A1D=D,所以AF⊥平面A1CD,
因为OF∥CD且OF=12CD
EA∥CD且EA=12CD
所以OF∥EA且OF=EA,
所以四边形OFAE为平行四边形,
所以OE∥AF,所以OE⊥平面A1CD,
又EO?平面A1EC,
所以平面A1EC⊥平面A1CD.
【补偿训练】
如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)若P点是线段AM的中点,求证:MC∥平面PBD.
【证明】(1)矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,
所以AD⊥半圆弧CD所在平面,
因为CM?半圆弧CD所在平面,
所以CM⊥AD;
又M是CD上异于C,D的点,
所以CM⊥DM;
又DM∩AD=D,DM,AD?平面AMD,
所以CM⊥平面AMD;
又CM?平面BMC,
所以平面AMD⊥平面BMC.