现代控制理论ch4.ppt

第四章稳定性与李雅普诺夫方法;第四章稳定性与李雅普诺夫方法;第四章稳定性与李雅普诺夫方法;第四章稳定性与李雅普诺夫方法;第四章稳定性与李雅普诺夫方法;第四章稳定性与李雅普诺夫方法;4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义;4.1.1系统状态的运动及平衡状态;4.1.1系统状态的运动及平衡状态;统状态的运动及平衡状态;4.1.1系统状态的运动及平衡状态;4.1.1系统状态的运动及平衡状态;4.1.2稳定性的几个定义;4.1.2稳定性的几个定义;4.1.2稳定性的几个定义;1.李雅普诺夫意义下稳定;二阶系统稳定的平衡状态及其状态轨线;2.渐近稳定;从工程意义上讲，渐近稳定比稳定更重要。由于渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳定性并不意味着整个系统能正常运行。因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽量扩大其范围是尤其重要的。;3.大范围渐近稳定;4.不稳定;从上述定义看出，球域s(δ)限制着初始状态x0的取值，球域s(ε)规定了系统自由响应x(t)=Ф(t,x0,t0)的边界。

如果x(t)为有界，那么称xe稳定。如果x(t)不仅有界而且有，收敛于原点，那么称xe渐近稳定。;

如果x(t)为无界，那么称xe不稳定。

在经典统制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。

只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统那么称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。;4.2李雅普诺夫第一法;4.2.1线性系统的稳定判据;4.2.1线性系统的稳定判据;4.2.1线性系统的稳定判据;4.2.1线性系统的稳定判据;4.2.1线性系统的稳定判据;4.2.1线性系统的稳定判据;4.2.2非线性系统的稳定判据;为讨论系统在xe的稳定性，可将非线性向量函数f(x)在xe邻域内展成泰勒级数，得;假设令Δx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程：;在一次近似的根底上，李雅普诺夫给出下述结论：;

如果A的特征值，至少有一个具有正实部，那么原非线性系统的平衡状态xe是不稳定的。

如果A的特征值，至少有一个的实部为零，系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决于高阶导数项R(x)，而不能由A的特征值符号来确定。;【例4-1】设系统状态方程为;在xe2处???从线性化，得;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;4.3李雅将诺夫第二法——直接法;;;;;;;;;;;;4.3.2几个稳定性判据;4.3.2几个稳定性判据;对渐近稳定判据中当为半负定时的附加条件作些说明;;;上述判据只给出了判断系统稳定性的充分条件，而非充要条件。

对于给定系统，如果找到满足判据条件的李雅普诺夫函数便能对系统的稳定性做出肯定的结论。

但是却不能因为没有找到这样的李难普诺夫函数，就做出否认的结论。;【例4-3】非线性系统状态方程;;几何解释：;由此可见，如果V(x)表示状态x与坐标原点的距离，那么就表示状态x沿轨线趋向坐标原点的速度，也就是状态从x0向xe趋近的速度。;【例4-4】系统的状态方程，试分析其平衡状态的稳定性。

解：是系统的唯一平衡点。

取李雅普诺夫函数

那么

当时，；

当时，。

因此为半负定。根据判据，可知该系统在李雅

普诺夫意义下是稳定的。;那么能否是渐近稳定的呢？为此，还需要进—步

分析当时，是否恒为零。

如果假设恒等于零，必然要求

在时恒等于零；而恒等于零又要求

恒等于零。但从状态方程可知，在

时，假设要求和，必须满足的条件。

这就说明，在时，不可能恒等于零。;因此上面当时，的情况只能

出现在状态轨迹与等V圆相切的某一时刻上。又

由于时，有，故系统在原点处为

大范围渐近稳定。

如果另选一个李雅普诺夫函数，;V(x)正定，而

为负定，且当时，有

因而也能得出原点是大范围渐近稳定的结