一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”.pdf

资料下载来源：高中数学教师群：247360252，黄冈中学资料共享群：761889459， 一类动点轨迹问题的探求 专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于PA  PB  2a ，我们可以进一步研究： PA PA  PB  2a,PAPB  2a,  2a ，各自的轨迹方程如何？ PB 1 引例：已知点M (x ,y ) 与两定点O(0,0), A(3,0) 的距离之比为 ，那么点M 的坐标应满足什 2 么关系？（必修 2 P103 探究·拓展） 探 已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为 (  0) ，那么点M 的轨迹是什么？ 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期 数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研 ，主要研究成果集中在他的代表作 《圆锥 曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 类题 1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点 Q(2，0)和圆 C： 2 2 x +y =1 ，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ |的比等于常数 λ( λ0).求动点 M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于 N ，则动点M 组成的集合是 P={M ||MN |= λ|MQ |}，式中常数λ0. ——2 分 2 2 2 2 因为圆的半径|ON|=1，所以|MN | =|MO | －|ON| =|MO | －1. ——4 分 设点M 的坐标为(x ，y ) ，则 x 2  y 2  1   x  22  y 2 ——5 分 2 2 2 2 2 整理得( λ －1)(x +y ) －4 λx+(1+4 λ)=0. 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8 分 要进“5000G网课视频共享群”的到QQ：763491846的空间日志查看（另有全部学科的群号） 资料下载来源：高中数学教师群：247360252，黄冈中学资料共享群：761889459， 5 5 当λ=1 时，方程化为 x= ，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交 x 轴于点( ，0) ， 4 4 2 2 1 3 2 2 2 当λ≠1 时，方程化为(x － 2 ) +y = 2 它表示圆，   1  2 