第九单元 立体几何.ppt

①②③④ ∵B1F·AF=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, ∴B1F⊥AF,即B1F⊥AF. 又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面AEF. ∵B1F·EF=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, ∴B1F⊥EF, 即B1F⊥EF. 学后反思 (1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明 这条直线与平面内的直线的方向向量平行.可用传统法，也可用向量法，用向量法更为普遍. (2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明，也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明. (3)证明面面垂直通常转化为证明线面垂直,也可用两平面的法向量垂直来证明. 举一反三 1.在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于F. 求证：(1)PA∥平面BDE; (2)PB⊥平面DEF 证明： (1)如图建立空间直角坐标系,设DC=a,AC∩BD=G,连结EG,则A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0), 于是PA=(a,0,-a),EG= , ∴PA=2EG,∴PA∥EG. 又∵EG 平面DEB,PA 平面DEB,∴PA∥平面DEB. (2)由B(a,a,0),得PB=(a,a,-a), 又∵DE=(0, , ), ∴PB·DE= － =0 ∴PB⊥DE. 又∵EF⊥PB,EF∩DE=E,∴PB⊥平面EFD. 题型二 两条异面直线所成的角 【例2】长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4, M是A1C1的中点,P在线段BC上,且CP=2,Q是DD1的中点, 求异面直线AM与PQ所成的角. 分析：本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来解决. 欲求异面直线所成的角，一般可以从公式cos〈a·b〉= 入手，先求得所需向量，代入即可. 解：如图,建立空间直角坐标系Bxyz,则 A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2), ∵AM=(-2,3,4),PQ=(4,2,2), ∴ 即AM·PQ=(-2)×4+3×2+4×2=6. 故异面直线AM与PQ所成的角为 学后反思 求异面直线所成角的主要方法: (1)定义法(平移法); (2)向量法:建系求相关向量的坐标通过向量坐标运算求角,有时也可用题目中给出的向量表示相关向量,然后计算角.利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别. 举一反三 2. 如图所示,A1B1C1－ABC是直三棱柱,∠BCA=90°, 点D1、F1分别是 A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1, 求BD1与AF1所成角的余弦值. 解析: 方法一:如图所示,连结D1F1,取BC中点M,连结MF1,MA,则D1F1∥B1C1∥BM, 又∵D1F1= B1C1=BM, ∴四边形BMF1D1是平行四边形, ∴MF1∥BD1, ∴∠MF1A是异面直线BD1和AF1所成的角. 设BC=CA=CC1=1,则AM2=1+ = , . 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系, 设BC=CA=CC1=2, ∴A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2), A1(2,0,2),B1(0,2,2). ∵D1、F1分别为A1B1、A1C1的中点, ∴D1(1,1,2),F1(1,0,2), ∴BD1=(1,-1,2),AF1=(-1,0,2), ∴BD1·AF1=(1,-1,2)·(-1,0,2)=3, |BD1|= ,|AF1|= cos＜BD1,AF1＞= 【例3】如图,在三棱锥PABC中,AB⊥BC,AB=BC= PA. 点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC. 分析（1）根据线面平行的判定定理. （2）几何求法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线 和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系， 利用向量去解. 解 方法一:(1)证明:∵O、D分别为AC、PC的中点,∴OD∥PA. 又PA平面PAB,OD平面PAB， ∴OD∥平面PAB. (2)∵AB⊥BC,OA=OC, ∴OA=OB=OC. 又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC. 取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE. 作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC. 题型三直线与平面所成的角 (1)求证:OD∥平面PAB; (2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值. ∴∠ODF是OD