导学案数学第七章71711数系的扩充和复数的概念.docx
7.1复数的概念
7.1.1数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1.理解与复数有关的基本概念.
2.掌握复数相等的充要条件及应用.
3.能够应用复数的分类解决相关问题.
【素养达成】
数学抽象
逻辑推理
数学运算
一、复数
1.复数的定义:把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=1.
2.复数的表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
【教材挖掘】(P68探究)
我们知道,方程x2+1=0在实数集中无解,联系从自然数集到实数集的扩充过程,你能给出一种方法,适当扩充实数集,使这个方程有解吗?
提示:引入一个新数i,使得x=i是方程x2+1=0的解,即使得i2=1.
二、复数集
1.定义:全体复数构成的集合叫做复数集.
2.表示:通常用大写字母C表示,即C={a+bi|a,b∈R}.
3.复数相等:设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di?a=c且b=d.
【版本交融】(人BP27)
两个复数,如果不全是实数,可以比较大小吗?
提示:如果不全是实数,一般不规定它们之间的大小,只能说它们相等或不相等.特别地,不能将虚数与0比较大小,因此也就不能说虚数是正数还是负数.
三、复数分类
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
实数
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【版本交融】(北师P176)
写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C的关系.
提示:N?Z?Q?R?C.
【明辨是非】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知i为虚数单位,若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.(×)
提示:当b=0时,z=a+bi为实数,当b≠0时,z=a+bi为虚数.
(2)3+4i的实部等于3,虚部等于4i.(×)
提示:3+4i的虚部是4.
(3)两个虚数不能比较大小.(√)
(4)自然数是有理数,但不是复数.(×)
提示:自然数是复数.
类型一复数的有关概念(数学抽象)
【典例1】(1)(多选)下列命题中,不正确的是()
A.1ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若ab,则a+ib+i
【解析】选BCD.由复数的定义可知A选项正确,不符合题意;形如a+bi(b∈R)的数,当b=0时,它不是虚数,故B选项错误,符合题意;若两个复数全是实数,则可以比较大小,故C选项错误,符合题意;两个虚数不能比较大小,故D选项错误,符合题意.
(2)(2024·淮安高一检测)若复数2bi(b∈R)的实部与虚部之和为0,则b的值为__________.?
答案:2
【解析】复数2bi(b∈R)的实部与虚部分别为2,b,因此2b=0,解得b=2.
【即学即练】
(2024·福州高一检测)欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现,其将自然对数的底数e,虚数单位i与三角函数cosθ,sinθ联系在一起,被誉为“数学中的天桥”,若复数z=eiπ2,则z的虚部为(
A.i B.1 C.22i D.
【解析】选D.因为z=eiπ2=(e12)
eπ4i=cosπ4+isinπ4
所以z的虚部为22
类型二复数相等的充要条件(数学运算)
【典例2】(1)(2024·西安高一检测)若2x1+(y+1)i=xy+(xy)i,则实数x,y的值为多少?
(2)若z1=34i,z2=(n23m1)+(n2m6)i,且z1=z2,则实数n,m的值分别为多少?
【解析】(1)由已知得2x
解得x=3
(2)由已知得n2
解得n=1m=
【总结升华】
复数相等的充要条件
(1)应用:求参数的值;
(2)方法:①确定两个复数的实部和虚部,②利用实部与实部、虚部与虚部分别相等,列方程组求解.
【即学即练】
已知(x+y3)+(x2)i=0(x,y∈R),则x+y=__________.?
答案:3
【解析】因为x,y∈R,(x+y3)+(x2)i=0,
所以x+y-
所以x+y=3.
【补偿训练】
已知复数z=x+yi(x,y∈R),其中实数x,y满足方程2x+y+ilog2x8=(1log2y)i,则z=()
A.2+i B.1+2i
C.1+i D.2+i或1+2i
【解析】选D.由复数相等的充要条件得2x+y-
故z=2+i或z=1+2i.
类型三复数的分类及应用(数学运算)
【典例3】(2024·儋州高一检测)已知复数z=(m2m6)+(m23m10)i.
(1)若z为实数,求m的值;
(2)若z为虚数,求m的值;
(3)若z为纯虚数,求m的值;
(4)若复数z为实数0,求m的值.
【解析】(1)若z为实数,则m23m10=0,解得m=2或m=5