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含间隙非光滑弹性碰撞系统的非线性模态分析 1 含间隙振动系统模态 在机械系统中，含间隙振动是非线性振动的一个常见问题。当固体和弹簧之间的松动时，由于弹药械械故动器失败，或由于设备间隙过大，故障振动状态是工程实践中频繁发生的间隙扰动现象。而存在于机械系统中的弹性碰撞,在一定参数条件下间隙的存在会导致复杂的动力学行为,研究这种含间隙振动系统的模态,识别出系统的模态参数,为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据,对于认识系统的故障机理及特征,减小系统振动和冲击,以及保障安全运行都有很重要的作用。笔者主要就一含间隙弹性碰撞系统进行分析模态分析,进而为工程应用提供理论支持,首先了解自由振动系统的非线性模态。 2 系统运动方程的解析 图1是一个存在间隙的两自由度分段线性碰撞系统的力学模型,在工程实际中很多含间隙的机械设备都可简化成此模型进行研究。左边是质量分别为M1和M2的物块,由刚度分别为K1和K2的线性弹簧相连。右边是一个无质量、带有弹簧刚度为K3的墙面。取质量块的静平衡位置为坐标原点,X1、X2分别为质量块M1和M2的位移。当X1大于间隙D时,质量块M1与墙面A发生接触。 系统的运动微分方程可表示为: {Μ1??X1+Κ1X1-Κ1X2+F=0Μ2??X2+(Κ1+Κ2)X2-Κ1X1=0F={0X1≤DΚ3(X1-D)X1D(1)???M1X??1+K1X1?K1X2+F=0M2X??2+(K1+K2)X2?K1X1=0F={0K3(X1?D)X1≤DX1D(1) 取无量纲量: μm=Μ2Μ1?μk2=Κ2Κ1?μk3=Κ3Κ1?x1=X1Dx2=X2D?τ=t/√Μ1/Κ1 则系统的无量纲运动微分方程式为: {??x1+x1-x2+f=0μm??x2+(1+μk2)x2-x1=0(2)f={0x1≤1μk3x1-μk3x11 为了能够准确描述上述系统的运动过程,首先定义一边界函数E为: E(x1,˙x1)=x1-1 并且设分界面∑为: ∑={x∈R2|E(x1,˙x1)=0}?(x=[x1˙x1]T) 分界面Σ将系统状态空间划分为如下两部分: 区域V-={x∈R2|E(x1,˙x1)0}表示质量块M1与墙面A处于分离状态; 区域V+={x∈R2|E(x1,˙x1)0}表示质量块M1与墙面A处于接触状态。 取μm=1,μk2=2,μk3=5,记: sign(x1-1)={0,[x1˙x1]∈V-1,[x1˙x1]∈V+ 求解系统碰撞前在平衡点处对应的线性系统模态,可求得其固有频率及模态矩阵,即: 固有频率为:ω1=0.7654,ω2=1.8478 模态矩阵为: Q=[0.92390.38270.3827-0.9239] 通过坐标变换x=Qη(η=[η1,η2]T)将系统运动微分方程(2)转化为如下形式: {??η1+ω21η1+f1=0??η2+ω22η2+f2=0(3) 其中: f1=sign(x1-1)(1.2804η1+0.5303η2- 1.3859) f2=sign(x1-1)(0.5303η1+0.2197η2- 0.5740) 其中: f(η)=sign(hTQη-d)[(Λ1-QT[K2]Q)η+QTb] Λ1=[ω21,0;0,ω22],b=[0;μk3] 3 阶流形及接触问题解析 应用基于Galerkin法来构造非线性模态的方法来具体构造系统(3)的非线性模态。 将系统方程(3)写成如下形式: {˙ηi=yi˙yi=-ω2iηi-fi(4) 构造系统(4)的一阶模态,根据基于Galerkin映射通过不变流形来构造非线性模态的方法,选取主坐标:η1=acos?,y1=-aω1sin?,从属坐标为η2=P2(a,?),y2=Q2(a,?)。 取μm=1,μk2=2,μk3=5,amax=15,Na=4,N?=6,通过迭代求解,得一阶模态中各不变流形见图2。 将不变流形方程代入式(5),可得系统降阶后的模态方程,即: ˙a=-f1ω1sin??˙?=ω1-f1aω1cos?(5) 为了更好的理解不变流形的特性,流形的几何结构由原坐标(xi,˙xi)来表示,通过坐标变换x=Qη,对式(5),选取不同的a和?为初始条件,利用龙格库塔法求得其原坐标(xi,˙xi)的时间历程图(见图3)。再根据不变流形约束方程得到其相应的相位图(见图4)。 构造系统的二阶模态,同样选取主坐标:η2=acos?,y2=-aω2sin?,从属坐标为η1=P1(a,?),y1=Q1(a,?)。取amax=15,Na=4,μm=1,μk2=2,μk3=5,N?=6,通过迭代求解,可得系统二阶模态子流形如图5所示。 将不变流形方程代入式(6),可得系统降阶后的模态方程,即: ˙a=-f2ω2sin??˙?=ω2