直线与平面的位置关系.doc

二．直线与平面的位置关系 知识提要 直线与平面的位置关系有三种： 直线在平面内； 直线与平面平行(直线与一个平面没有公共点，则称直线与平面平行)； 直线与平面相交． 直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(线线平行，线面平行) 直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交．那么这条直线和交线平行．(线面平行，线线平行) 直线与平面垂直：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则称该直线与这个平面互相垂直． 直线与平面垂直的判定 判定1 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与这个平面垂直． 判定2 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质 定理1 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线互相平行． 定理2 直线垂直于平面，则此直线垂直于平面内的任意一条直线． 三垂线定理 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直．(简记为：“射影垂直，则斜线垂直”) 三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直．(简记为：“斜线垂直，则射影垂直”) 射影长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (ii)相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长； (iii)垂线段比任何一条斜线段都短． 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．如果直线垂直于平面，那么它们所成的角是直角；如果直线平行于平面或在平面内，那么它们所成的角是O0的角．直线和平面所成的角的范围是[0，π]。 课前练习 1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( ) (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 要依P点的位置而定 解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN， 四边形ANB1M是平行四边形， 故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面． 又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥平面AMC1，NP平面B1NC， ∴ NP∥平面AMC1． 答案选B． 2．已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与，所成的角均是的直线有且只有（ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 解析： 过空间一点P作∥，∥，则由异面直线所成角的定义知：与的交角为，过P与，成等角的直线与，亦成等角，设，确定平面，，交角的平分线为，则过且与垂直的平面（设为）内的任一直线与，成等角（证明从略），由上述结论知：与，所成角大于或等于与，所成角，这样在内的两侧与，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且与垂直的平面，由上述结论知，内任一直线与，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P与，成的直线有且只有2条，故选（B） 3．直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 解A 4．P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影． （1）若PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心． （2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心． （3）若PA 、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心． （4）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心； 解析：（1）外心．∵ PA=PB=PC，∴ OA=OB=OC，∴ O是△ABC的外心． 　（2）内心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵ PO⊥平面ABC，∴ OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴ O是△ABC的内心．（如图答9-23） （3）垂心． （4）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠P