线性代数与解析几何——向量代数与几何应用.ppt

第三章作业 习题3 5, 8, 10, 16, 19, 25 (3), 26 (2), 27 (3), 31 (1) 5. 直线与直线的夹角 6. 直线与平面的夹角 （ 则 则这两个平面的夹角 7. 两平面的夹角 【约定】 两个平面的法线(不是法向)的夹角(锐角)称 为两个平面的夹角. 8. 点到直线的距离 9. 点到平面的距离 【公式】 【证明】 习题课 判断下列结论是否正确, 并说明理由. 1. 对于空间两点 P (2, –2, 5) 和 Q (–1, 6, 7). 试求: 2. 3. 5. 证 6. 用数量积证明三角形的三条高交于一点. 1. 求下列平面方程: 因为平面过原点, 故可设方程为 将 A, B 两点的坐标代入得: 解 定义 设 混合积的坐标表达式 3、向量的混合积 （1）向量混合积的几何意义： 关于混合积的说明： 解 例 §3.3 空间平面及其方程 【法向量】垂直于平面的非零向量. 1. 平面的点法式方程 平面的点法式方程 【求平面方程的方法】(记住!): · 【解】 取 平面方程为 化简得 取法向量 化简得 平面方程为 【解】 2. 平面的一般式方程 由平面的点法式方程 平面一般式方程 其中法向量为 几种特殊情况： 其它情况可以类似讨论 【解】 (2) 过 y 轴; (3) 平行z 轴; (4) 平行 zOx 平面. (1) 过原点; 【解】 3. 平面的截距式方程 取法向量 化简得 平面方程为 【解】 4. 平面的三点式方程 5. 两平面特殊的位置关系 【例6】讨论以下各组里两平面的位置关系: 【解】 (1) (2) 【同轴平面束】经过同一条直线的所有平面的集合. §3.3 空间直线及其方程 直线的参数式方程 【直线的方向向量】 平行直线一非零向量. 1. 直线的参数式与点向式方程 直线的点向式(对称式)方程 【评注】 【解】 直线方程为 【解】 直线 L 方程为 直线的两点式方程 【解】 空间直线 L 可看成两平面的交线: 其中 L 的方向向量 2. 直线的一般方程 直线 的一般方程 【解】 在直线上令 L的方程: 3. 直线与平面的关系 则 4. 直线与直线的关系 3. 数乘向量(用一个数和一个向量造新的向量) 4. 向量的方向角 由下面图形很容易证明(2). 5. 空间直角坐标系 (1) 在空间中取一定点 O ; 过点 O 作三条两两互 相垂直, 且成右手系的 数轴数轴: Ⅲ Ⅱ Ⅵ VII 面 面 面 【卦限】空间直角坐标系共有八个卦限. 【坐标平面】 xOy, yOz, zOx 面 Ⅰ Ⅷ Ⅳ Ⅴ 5. 向量的标准分解 【向量的标准分解】 6. 空间点的坐标 7. 空间两点间的距离 8. 向量的方向余弦 §3.2 向量的内积、外积与混合积 1. 向量的内积 【证明】 由三角形的余弦定理, 【向量内积的性质】 【解】 2. 向量的外积(由两个向量造一个新向量) 【评注】 证 // // 外积符合下列运算规律： （1）反交换律 （3）分配律： （2）若 为任意实数 直角坐标系下外积的坐标表达式 o 外积的坐标表达式 外积还可用三阶行列式表示 外积模的几何意义 §3.1 向量的线性运算与空间直角坐标系 一、向量的基本概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 向量（矢量）：既有大小又有方向的量，通常用符号 表示. 向量的长度： 向量的大小， 的长度记作 向量 可用一条有向线段 来表示. 有向线段的起点和 终点称为向量的起点和终点. 1. 向量的基本概念 单位向量：长度等于1的向量. 零向量： 长度等于0的向量，记作 .零向量的方向不确定. 相等的向量：若两个向量的方向相同且长度相等. 互为相反的向量(或互为逆向量)： 若两个向量的方向相反且长度相等. 共线的或平行的（垂直的）向量：若两个向量 和所在的直线 平行（垂直）. 共面的向量： 若一组向量所在的直线都平行于同一平面. 2. 向量的加法和减法