高等数学教程（第4版）课件：微积分基本定理.pptx

设某物体作变速直线运动,位移函数为s(t),运动速度为物体在时间段内的位移微积分基本定理则有而所以

定积分记为称为积分上限函数.是x的函数,设函数在区间[a,b]上连续,上的一点,并设x为[a,b]注意:

证定理6.2(微积分第一基本定理)在[a,b]上可导,且其导数为即是f(x)的一个原函数.如果f(x)在[a,b]上连续,则积分上限函数

有由积分中值定理即

解例6.10设在内连续，求令则

练习

解这是型未定式,应用洛必达法则及等价无穷小代换来计算.例6.11计算极限

解例6.12证明所以令得原命题得证.

证令练习设在[0,1]上连续,且证明方程在[0,1]上只有一个实根.由零点定理和单调性，原方程在[0,1]只有一个实根.在[0,1]上为单调增加函数.

定理6.3(微积分第二基本定理,牛顿—莱布尼茨公式)证的一个原函数,如果是连续函数在区间[a,b]上因已知是的一个原函数，而也是的一个原函数,令则

令牛顿—莱布尼茨公式

解解例6.13计算定积分例6.14计算定积分

解例6.15设,求

解例6.16计算原式

例6.17计算解

解因定积分是数值,于是例6.18设则等式两边在[0,1]上积分,得

练习计算

练习计算解

练习设连续，求解原式=

而故练习求极限解由定积分的定义,有

练习设,求在[0,2]上的表达式.解故

练习已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为