经典高等数学课件D5-2微积分基本公式.ppt

* 1.定积分定义 分割, 2.定积分的思想和方法： 3.定积分的几何意义 复习 近似, 取和, 求极限. x轴上方的取正号， x轴下方的取负号. 曲边梯形的面积 曲边梯形面积的负值 A 表示各部分面积的 代数和. 4.几个常用的等式 (1) (3) 5.定积分的性质 线性性： (1) 可加性： (2) (3) 则 若 (4) (估值定理) (5) 则 (6) 定积分中值公式 (Ⅰ) 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五章 一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 二、积分变上限的函数及其导数 即 则称之为积分变上限函数. 就一定有一个数 与之对应. 这样得到一个新函数： 1.积分变上限函数的定义 2.积分变上限函数的性质 证: 则有 定理1. 并且 证毕 (Ⅰ) ：在定义区间内连续且可导. 说明： 微分形式： 1) 定理 1 证明了“连续函数必有原函数”. 同时为通过 原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导: 求 解： 令 则 例1. 例2. 求 解: 原式 洛 P242例8 解: 例3. 已知 求 解: 例4. 证: 由零点定理知,该方程在[0,1]内至少有一个根. 证明： 例5. 定理2.(原函数存在定理) 定理的重要意义： (1)肯定了连续函数的原函数是存在的. (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 则积分上限函数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式（微积分基本公式） ( 牛顿 —莱布尼茨公式) 证: 根据定理 2, 得 定理 3. 证毕 微积分基本公式表明： 注意： 求定积分的问题转化为求原函数的问题. 一个连续函数在区间[a,b]上的定积分， 等于它的任意一个 原函数在区间[a,b]上的增量. 求下列定积分 (1)原式 解: (2)原式 dx， 例1. P240例1、2 解: 解: 求 dx 当x0时， 的一个原函数是 dx 面图形的面积. 面积 例2. 计算曲线 在 上与x轴所围成的平 例3. P240例3 P240例4