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例谈判断函数单调性的几种方法 函数的单调性是函数的一个重要性质，学会判断函数的单调性对学生来说尤为重要。函数单调性的定义是我们判断函数单调性的主要依据。同时，我们还可以应用一些其他快捷有效的方法。下面通过几个例子来加以说明。 一、定义法： 例1、判断函数的单调性。 分析：用定义证明。 证明：且 又 即 是增函数。 例2、 判断函数在区间上的单调性。 证明：设是区间上任意的两个值，且 在区间上是增函数。 点评：1、目前，证明函数在某个区间上的单调性，严格来说，必须利用定义来证明，其思路是： （1）取值：设为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如； （2）作差：计算，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形； （3）定号：判断的符号，若不能确定，则可分区间讨论； （4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。 2、注意例2中函数表达式的特点及变形技巧。还有与此类似的一些函数，如：等，在证明这些函数的单调性时，对实施正确的因式分解至关重要。 二、图象法： 例3、指出函数的单调性。 解：由题意，易知原函数可化为， 作出函数的图象如图1所示。 由图象可知，函数在区间上单调递增； 在区间上单调递减。 点评：运用图象法判断函数的单调性的关键在于正确画出函数的图象，根据图象观察能直观地判断增（减）函数。对于函数的单调性，从函数图象上作图形描述：对于给定区间上的函数，如果函数的图象是从左到右连续上升的，则称函数在该区间上单调递增；如果函数的图象是从左到右连续下降的，则称函数在该区间上单调递减。 三、导数法： 例4、判断下列函数的单调性。 （1）； （2）。 解：（1）函数的定义域是R， 令，即，解得 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减。 故，在上函数是增函数，在上函数是减函数。 （2）函数的定义域是R， 令，即，解得或 当，即时，函数单调递增； 当，或时，函数单调递减。 故，在上函数是增函数，在，上函数是减函数。 点评：利用导数判断函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的单调性。并要注意在（2）中两个单调递减区间不能写成是并集的形式。 四、复合函数法： 例5、判断函数的单调性。 分析：可以先求再根据图象法加以判断，也可利用“同为增，异为减”这一性质去判定。 解：令 又 在上是增函数，在上是减函数 而，即；即 在上是增函数，在上是增函数； 在上是增函数，在上是减函数。 例6：已知函数在上是增函数，求证：在上也是增函数。 证明：任取且， 在上是增函数， 又在上是增函数，，而且 在上是增函数。 同理可以推广： 若均是上的减函数，则是上的增函数； 若是上的一增、一减函数，则是上的减函数。 点评：1、一般地，对于复合函数，若函数在区间上是单调函数,函数在或上也是单调函数,那么复合函数在区间上是单调函数,其单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 函数 单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 即,增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数。 2、若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则看简单函数中减函数的个数，若减函数有偶数个，则复合而成的函数为增函数，若减函数有奇数个，则复合而成的函数为减函数。 3、判断复合函数的单调性，要特别注意在定义域内研究。 五、特殊值法： 例7、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数。 （1） （2） 分析：因为题目的条件已指明给定的区间是函数的单调区间，因此该函数在指定区间上要么是增函数，要么是减函数，故可取值验证。 解：（1）在上取，有 是函数的单调区间， 函数在 是减函数。 （2）在区间上取 是函数的单调区间， 函数在区间上是减函数。 点评：这种代值判断只有在确知区间是函数的单调区间时才可以这样做，它不能代替证明．但在解答有关单调性的选择题时，它不失为一种有效方法。 六、利用常见的结论： 例8、判断函数在区间上的单调性。 分析：判断函数在给定的单调区间上