高中数学函数单调性的判断方法.docx

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值 （1）当时，都有,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当时，都有,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f（x）在定义域内是减函数，设任意，则，??? ，且在与中至少有一个不为0，不妨设，那么，，故 在 上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： 1. f(x)与c?f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f（x）在R上是减函数，那么-5f（x）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。 例如，求函数y=log4(x2－4x+3)的单调区间。 解：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由 u＞0, u=x2－4x+3， 解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3. 当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 方法四：图像法 画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。 例如，画出函数图象并写出函数的单调区间。 解： 即 如图所示，单调增区间为，单调减区间为 方法五：导数法 函数的单调性与导数的关系：在某个区间内， 如果，那么函数在这个区间内单调递增， 如果，那么函数在这个区间内单调递减。 例如，求函数的单调区间。 解：函数的定义域为R， 令，得或． ∴函数的单调递增区间为（－1，0）和； 令，得或， ∴函数的单调递减区间为和（0，1）．