两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数.doc

两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数 一、两个随机变量的和的分布 设（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），现求Z=X+Y的概率密度。 令，则Z的分布函数为： （1.1） 固定z和y对积分作换元，令，得 （1.2） 于是 （1.3） 由概率论定义，即得Z的概率密度为 注意：积分限为?∞到+∞ （1.4） 由X与Y的对称性，又可得 注意：积分限为?∞到+∞ （1.5） （1.4）与（1.5）相当于分别在条件下，求X或Y的边缘概率密度。 特别的，当X与Y相互独立时，有 （1.6） 其中，、分别是X和Y的边缘概率密度。 式（1.6）又称为和的卷积公式，常记为。因此式（1.6）又称为独立随机变量和的分布的卷积公式。 二、两个随机变量的商的分布 设（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），现求的概率密度，Z的分布函数为 （2.1） 而 （2.2） 对于固定的z，y，积分作换元（这里y 0），得 （2.3） 于是 （2.4） 类似的可得 (2.5) 故有 (2.6) 由概率密度定义可得的概率密度为 (2.7) 特别的，当X与Y相互独立时，有 (2.8)