4两个随机变量的函数的分布解析.ppt

* §4 两个随机变量的函数的分布 一、 的分布 但是，对于不同的 及 ，它们的和可能是相等的.所以，按概率加法定理，我们有 或者也可以写成 (4.1) 首先我们考虑两个离散型随机变量 与 的和，显然，它也是离散型随机变量，记作 ，变量 的任一可能值 是变量 的可能值 与变量 的可能值 的和 这里求和的范围可以认为是一切 的值；如果对 于 的某一个值 ，数 不是变量 的可能值， 则我们规定 以上两式又称离散卷积公式. 或 (4.4) 如果 与 相互独立，则有 (4.3) 同理可得 (4.2) 在二维离散型随机变量和的概率分布式（4.1）中， 将概率 换为概率密度 ， 将和“ ”换为积分“ ”,则类似的可得到二 维连续型随机变量和 的概率密度为 （4.5） 由 的对称性， 又可写成 （4.6） 上述两等式是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当 和 相互独立时，设 关于 的 边缘概率密度分别： ， ,则上述两等式分 别化为 （4.7） （4.8） 这两个公式称为卷积公式，记为 ， 即 例 1 设 ， 的概率分布如表3-8,求（1） 、（2） 的概率分布. 解： 解 由的概率分布可得表3-9 从而得：（1） 的概率分布如表3-10， （2） 的概率分布如表3-11 例2 设 与 相互独立，依次服从泊松分布 ，求随机变量 的概率分布. 例3 设 和 是相互独立随机变量.它们都服从 分布，其概率密度分别为：求 的概率密度. 解： 解： 解 的可能取值为0，1，2，… 即：若 与 相互独立，依次服从泊松分布 ，则 服从泊松分布 这一性质称为泊松分布的可加性. 故 服从泊松分布 解 （令 ） 即 服从 分布. 一般地，设 和 是相互独立，且 ， ，由（4.7）式经过计算知 仍然 服从正态分布，且有 这一性质称为正态分布的可加性. 这个结论还能推广到 个独立正态随机变量之和的情况.若 ，且它们都相互独立，则它们的和 仍然服从正态分布，且有 更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布. 即若 ，则 服从正态分布， 可以证明：二项分布 （见习题）以及后面要讲到的 分布都具有可加性. 一般地，如果随机变量 是连续型二维随机变量 的函数 ，要用 的概率密度来表达 的概率密度，可用如下的方法求 的密度函数 求得 的分布函数后，通过分布函数与概率密度的 关系，即可得 的概率密度. 二 及 的分布 设 和 是相互独立的随机变量，它们的分布函数 分别为 和 现在求 及 的分布函数. 又由于 和 相互独立，得到 的分布函 数为 由于 不大于 等价于 和 都不大于 ， 故有 即有 （4.9） 类似地，可得 的分布函数为 即 （4.10） 以上结果容易推广到 个相互独立随机变量的情况.设 是 个