九参数估计.doc

第九章 参数估计 习题9.1 设总体服从参数为的分布，为来自该总体的样本，试求的矩估计和最大似然估计. 解：由于总体分布中只含一个未知参数， ∵ 根据矩法，用替代便得， ∴的矩估计 由于总体分布率为 ， 故似然函数为 ， 两边取对数得 令 解得的最大似然估计值 所以的最大似然估计为 设总体的概率密度为 为来自该总体的样本，试求的矩估计和最大似然估计. 解：总体的数学期望为 所以 ， 按矩法，用替代，便得的矩估计为 似然函数为 当时 令 ，解得， 所以的最大似然估计为。 3, 设总体的概率密度为 其中为已知常数，为未知参数,又设为来自该总体的样本，试求的矩估计和最大似然估计. 解：总体的数学期望为 所以 按矩法，用替代，便得的矩估计为 似然函数为 令 所以的最大似然估计为。 4, 设总体,为来自该总体的样本，求的矩估计. 解：由于， 按矩法，用替代，替代，得方程组 解得的矩估计分别是 。 5, 设总体的概率密度为 为来自该总体的样本，试求的矩估计和最大似然估计. 解：总体的数学期望为 ∴ 按矩法，用替代，便得的矩估计为 似然函数为 当时 ， 有 ，可知单调增加， 由于必然满足，因此当取中最小值时取最大值，所以的最大似然估计为。 6, 设总体，（1.1，1.2，1.1, 2.1, 1.5，2.0, 1.2, 2.4, 2.8）为来自总体的一组样本值,求的最大似然估计值. 解：∵ ∴ 的最大似然估计值分别为，由最大似然估计的不变性得 。 习题9.2 1, 设总体的概率密度为 为来自该总体的样本，证明的最大似然估计是的无偏估计. 证明：由 先求的最大似然估计， 似然函数为 ， 有 ， 令 所以的最大似然估计为 又 从而有， 所以的最大似然估计是的无偏估计。 2, 设总体服从参数为的分布，为来自该总体的样本，试求的一个无偏估计. 解：∵， ∴ 又因为，由例9.2.3知 所以取，就有 所以是的一个无偏估计. 3, 设总体的期望为，方差为，为来自该总体的容量为3的样本，令 证明均为的无偏估计，并指出哪个最有效. 证明：∵ ∴均为的无偏估计。 由例9.2.2的结论可知最有效. 4, 设和是的两个相互独立的无偏估,并且的方差是方差的两倍,试找出常数和使得是的无偏估计,且在所有这样的线性无偏估计中最有效. 解：因为 ， 所以由 ，可得 ， 即要求和，使得在条件下取得最小 用拉格朗日乘数法求和，令 由 5, 设总体,为来自该总体的样本，证明是的无偏估计及一致估计. 证明：因为 所以 所以是的无偏估计. 由独立同分布的大数定律可知，对任意有 所以 所以是的及一致估计. 习题9.3 1, 调查了144人的每日吸烟量，得（支），假定每日吸烟量服从正态分布，求的置信区间. (1) 置信度为0.95;(2) 置信度为0.99. 解：此问题是在方差已知条件下，求正态总体期望的区间估计问题. 所以的置信区间是，其中置信半径， ⑴ 置信度为时，即，有， 所以置信区间为， 即 。 ⑵ 置信度为时，，有， 所以置信区间为， 即 。 2, 设总体，为来自总体的样本，若要使的置信度为0.95的置信区间长为5，问样本容量至小应为多少? 若置信度为0.99,又如何？ 解：此问题是在方差已知条件下，求正态总体期望的区间估计问题. 所以的置信区间是，其中置信半径， 本题是求至少取多大时，所以， 当的置信度为时，，有，， ∴ ∴取 当的置信度为时，，有， ∴ ∴取 。 3, 若从自动车床加工的一批零件中随机地抽取10个,测得其尺寸与规定尺寸的偏差(单位：微米)分别为：2, 1, , 3, 2, 4, , 5, 3, 4,又设零件尺寸的偏差,试分别求和的90%置