《测量平差》教案 第九章 误差椭圆 （武汉大学版）.doc

《测量平差》教案 第九章 误差椭圆 §9.1概述；§9.2点位误差 一、点位误差的概念及计算 1、点位真误差 如图可得： ， 无法求得（为什么?） 2、点位方差及其计算 由方差的定义式可得： 故有 同理有： 记，则有： ――点位方差计算式 上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关,即与坐标系的选择无关。 用点位方差衡量P点精度的缺陷： 不能完善说明P点在任一各方向上的精度情况，不能确定P点在哪一个方 向上的精度最好（最差）。 二、P点在任意方向φ上的位差 由图可得下列关系式: 由协方差传播律得: 或 上式即为求任意方位角φ方向上点位方差的计算公式。 三、位差的极值方向、极大值和极小值的确定 由位差计算式可以看出,随着φ值的变化而改变，其具有最大值和最小值。 函数有极值，其一阶导数等于零，设位差的极值方向为,求导得出 将代入位差计算式得: 极值方向的判别方法: ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、Ⅳ象限；＜0， 极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在第Ⅰ、Ⅲ象限 位差极大值、极小值的计算： 用表示极大值方向、表示极小值方向；用E、F分别表示位差的极大值和极小值。则有 把代入位差计算式整理得 其中 与、有下面关系: 四、用E、F表示的任意方向Ψ上的位差 由图可知,任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系:  把代入位差计算式整理得: 例1 如图,在固定三角形内插入一点P,经过平差后求得P点坐标的协因数阵为:  单位权方差估值为。 试求(1) 位差的极值方向和, (2) 位差的极大值E与极小值F, (3) 已算出PM的方位角,PM方向上的点位误差为多少, (4) P点的点位方差。 例2 如图, 已知 。 为确定P点的位置,作如下观测: 试确定P点位差的极大值及其方向。 例3 在例2 中,平差后算得PA的方位角和边长=1827.46m,试求PA边的方位误差及边长相对中误差。 按解算公式和相应方法解算，讲解。 小结：点位方差的大小与坐标系的选择无关，位差可描述P点在任一各方向上的精度情况，确定其在哪一个方向上的精度最好（最差）。 §9.3误差曲线；§9.4误差椭圆；§9.5相对误差椭圆 一、误差曲线的定义 以ψ和为极坐标的点的轨迹所构成的封闭曲线称为误差曲线,或称为精度曲线。 二、误差曲线的作图方法与步骤 1、方法 如图，以O为圆心, E、F为半径画圆弧,再以为起始方向,过原点O作一系列ψ(如取ψ=20°,40°,60°,80°)角的直线,直线与圆弧的交点分别投影到、轴上,得到交点和a″。 则有 在ψ方向的直线上,自O点量取线段,得a点,便是误差曲线上的点。将若干个方向上获取的这样的点连接所得的封闭曲线即为误差曲线。 2、步骤 首先，用较小比例尺绘出三角点点位图,如下图。图中A、B、C为已知点,P为待定点。以待定点为原点,建立x、y的坐标轴,并根据已求出的值,确定极值E(轴)、F(轴)的方向。 然后以较大比例尺在、轴上取,再以为起始方向,将不同的ψ值及其相应的向径,仍按同一较大比较尺逐一展绘上去,平滑地依次将各点联结起来,就得到了待定点的误差曲线图。 三、误差曲线的用途 利用误差曲线可以求取下列各种误差: (1) 待定点任一方向的位差。例如: (2) 确定点位中误差。点位中误差是按照任意两个互相垂直方向上的位差来求的。例如 (3) 待定点P至任一三角点边长的中误差(即该边的纵向误差)。例如:PA边边长中误差为:。 (4) 待定点P至任一三角点之方位角的中误差。例如:PA边的方位角的中误差为: 式中为PA边之横向误差,为P点至A点的距离。 四、误差曲线与误差椭圆 （一）、误差椭圆方程 误差曲线作图不易,而且作出来的曲线也不是一种典型曲线,因此,给使用者带来很大不便,降低了它的实用价值。然而,它的形状很近于以E、F为长短半轴的椭圆。在以、为坐标轴的坐标系中,该椭圆的方程为: 误差椭圆的三个参数、E、F称为误差椭圆三要素。 （二）、误差椭圆与误差曲线的关系。 垂直于ψ方向上作椭圆的切线,则垂足与原点的连线长度就是ψ方向上的位差。 如图由椭圆任一点作切线TQ，再由椭圆中心O向该切线引垂线交于D，D点为垂足。若令 OD与轴夹角为ψ，那么，线段的长度就是误差曲线在ψ方向上的位差。 五、相对误差椭圆 设有两个待定点,坐标平差值的协因数阵为:  两待定点平差以后的相对位置可通过坐标差来表示,即 或表示为: 据上式,按协因数传播定律得: 计算及点间相对误差椭圆的三个参数的公式为: 可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心。根据相对误差椭圆，便可图解出所需要的任意方向上的位差大小。 例 如图示测角网， 已知坐标：A(4899.84, 130.8