高中三角函数知识点与常见习题类型解法.doc

PAGE PAGE 2 三角函数知识点与常见习题类型解法 1、任意角的三角函数： （1）弧长公式： R为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。 （2）扇形的面积公式： R为圆弧的半径，为弧长。 （3）同角三角函数关系式： ①倒数关系： ②商数关系：， ③平方关系： （4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指的是整数的奇偶性； 函 数 2、两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式： 【注：公式的逆用或者变形】 （2）二倍角公式： 从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式： ， （3）半角公式（可由降幂公式推导出）： ， ， 3、三角函数的图像和性质：（其中） 三角函数 图像 定义域 （-∞，+∞） （-∞，+∞） 值域 [-1,1] [-1,1] （-∞，+∞） 最小正周期 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心： 零值点 最值点 无 4、函数的图像与性质： （本节知识考察一般能化成形如图像及性质） （1）函数和的周期都是 （2）函数和的周期都是 （3）五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的值再描点作图。 （4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 【函数的平移变换】： ① 将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减） ② 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减） 【函数的伸缩变换】： ① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长） ② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短） 【函数的对称变换】： ①) 将图像绕轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于轴对称） ②将图像绕轴翻折180°（整体翻折）； （对三角函数来说：图像关于轴对称） ③ 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）； ④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换； 如等。 （2）项的分拆与角的配凑。 如分拆项：； 配凑角：；等。 （3）降次与升次；切化弦法。 （4）引入辅助角。 ，这里辅助角所在象限由的符号确定，角的值由确定。 【典型例题】： 1、已知，求的值． 解：因为，又， 联立得 解这个方程组得 2、求的值。 解：原式 3、若，求的值． 解：法一：因为 所以 得到，又，联立方程组，解得 所以 法二：因为 所以， 所以，所以， 所以有 4、求证：。 证明：法一：右边＝； 法二： 左边= 5、求函数在区间上的值域。 解：因为，所以，由正弦函数的图象，得到 ，所以 6、求下列函数的值域． （1）； （2）) 解：（1） = 令，则 利用二次函数的图象得到 (2) = 令，则 则利用二次函数的图象得到 7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。 解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以 又由，得到可以取 8、已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x． (Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．数的值域． 解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x 所以最小正周期为π． (Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为 9、已知，求（1）；（2）的值. 解：（1）； (2) . 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过 程简化。 10、求函数的值域。 解：设，则原函数可化为 ，因为，所以 当时，，当时，， 所以，函数的值域为。 11、已知函数；（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。 解： (1)所以的最小正周期，因为， 所以，当，即时，最大值为； (2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立， 因为， ， 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。 12 、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）, （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集