6.2.4（第1课时）向量的数量积课件高一年级下册学期数学人教A版（2025）必修第二册（16张ppt）（含音频+视频）.pptx

6.2.4向量的数量积（1）

特别地，当λ=0或a=0时，λa=0．（2）方向当λ0时，λa的方向与a方向相同；当λ0时，λa的方向与a方向相反；（1）长度|λa|=|λ|·|a|向量的数乘定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa．它的长度和方向规定如下：01复习回顾2

01问题情境问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算，如果有，该怎么定义？3

01学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算教学重点与难点：1.教学重点：平面向量数量积的定义；2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。4

02仔细阅读课本P17~P19，回答下列问题1.向量a与b的夹角如何确定？2.如何根据物理中功的公式抽象出数学中两个向量的数量积公式？3.已知|a|=5，|b|=4,当a与b夹角分别是0°，60°，90°，180°时，求ab5

02合作探究问题3：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？?追问：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？显然.功是标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。思考：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量a、b，其结果又该如何表述？6

评03合作探究功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。7

评03合作探究已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角,记作a,b．baabABO当θ=0时，当θ=π时，如果a与b的夹角是，特点：共起点a与b同向；a与b反向．我们说a与b垂直，记作a⊥b．8

03新知初探已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积（innerproduct）），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．追问1：两个向量的数量积是数量，还是是向量？答：两个向量的数量积是数量，两个向量的线性运算结果是向量?9

03概念辨析追问2：向量的数量积a·b=|a||b|cosθ是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？正负取决于什么？10判断：1）如果数量积a·b0，则这两个向量的夹角是锐角()2）如果数量积a·b0，则这两个向量的夹角是钝角()3）“a是零向量或b是零向量”是“a·b=0”的充要条件()

03典例精析例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=，求a·b．解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×=5×4×(-)=-10．例2.设|a|=12，|b|=9，a·b=，求a与b的夹角?．解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=．因为θ∈[0，π]，所以θ=．11

03合作探究追问3：（1）设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则a·e等于多少？（2）一个向量与它自身的数量积是多少？（3）|a·b|与|a|，|b|之间有什么关系？你是如何发现的？12

03合作探究数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=|a|cosθ．(2)a⊥b?a·b=0．(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．特别地，a·a=|a|2或|a|=．(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）．13

041.向量的数量积的定义；2.向量的数量积的性质；梳理小结14

04目标检测1．下列各式中正确的是（）．A．0?a=0B．0?a=0C．0?a=0D．0?a=0?15

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