chap5__大数定律及中心极限定理.ppt

* * 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. Chap5 大数定律及中心极限定理 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 为此先来引进证明下述定理所需要的预备知识－切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0, 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度. 如图所示 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量 X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 X取值偏离E(X)超过 的概率小于0.111 . 如取 例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100} 由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100} 即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 . 例2 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? 解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， E(X)=0.75n, 的最小的n . 则 X~B(n, 0.75) 所求为满足 D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P{ |X-E(X)| 0.01n} P(0.74n X0.76n ) 可改写为 在切比雪夫不等式中取 n，则 = P{ |X-E(X)| 0.01n} 解得 依题意，取 即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 . 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差： 则对任意的ε0， 作前n个变量的算术平均 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式. 由于 由切比雪夫不等式 即得　 注：定理1表明，当n很大时，随机变量 的算术平均接近于数学期望 。这种接近是概率意义下的接近。 下面给出依概率收敛的定义 定义：设 是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数 ，有 则称序列 依概率收敛于a。 记为 依概率收敛的序列还有以下的性质 设 又设函数g(X,Y)在点（a，b）连续，则 这样，上述定理又可叙述为 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差： 依概率收敛于 即 则序列 大数定理表明，在一次试验中由于各种随机因素的影响，试验的结果是完全不确定的。但将试验重复多次时，反应事件特征的规律就显示出来了。特别是大量随机现象的平均结果实际上已与每一个个别随机现象的特性无关，这正是大数定律所反映的客观实际。大数定律是数理统计中参数估计的理论基础，大数定律为数理统计提供了以样本特征去推断相应总体特征的理论基础。 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理2（贝努里大数定律） 或 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，