大数定律与中心极限定理.pptx

4.2大数定律伯努利大数定律定义4.2.1当n充分大时,频率un/n与概率p间的大偏差的概率很小。即对任意的ε0,有12345定理4.2.1(伯努利大数定理)设un为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率,则事件A发生的频率un/n依概率收敛于事件A发生的概率.这种收敛性称为依概率收敛。第四章大数定律与中心极限定理

例4.2.1(用蒙特卡洛方法计算定积分1)设0≤f(x)≤1,求f(x)在区间[0,1]的积分值:1常用的几个大数定律2定义4.2.2设有一随机变量序列{Xn},对任意的ε0,有3则称该随机变量序列{Xn}服从大数定理。4第四章大数定律与中心极限定理

马尔可夫大数定律切比雪夫大数定律例4.2.2定理4.2.2设一个两两互不相关随机变量序列{Xn},若Xi的方差存在,且有共同的上界,即Var(Xi)≤c，i=1,2,…,则{Xn}服从大数定理.则{Xn}服从大数定理。定理4.2.3对随机变量序列{Xn},若满足第四章大数定律与中心极限定理

231辛钦大数定律(平均观测值代替数学期望)定理4.2.4设{Xn}为一独立同分布的随机变量序列,若Xi的数学期望存在，则{Xn}服从大数定理.例4.2.4(用蒙特卡洛方法计算定积分2)设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,则例4.2.3第四章大数定律与中心极限定理

3、9、12*习题4.2作业

第四章大数定律与中心极限定理4.3随机变量序列的两种收敛性依概率收敛定义4.3.1设{Yn}为一随机变量序列，Y为一随机变量.如果对任意的ε0,有则称{Yn}依概率收敛于Y,记作。定理4.3.1设{Xn}、{Yn}是两个随机变量序列,a、b是两个常数。如果则有⑴⑵

1例4.3.1极限分布不能点点收敛的例子。2定义4.3.2设随机变量X,X1,X2,…的分布函数分别为F(x),F1(x),F2(x),…。若对F(x)的任一连续点x,都有3则称{Fn(x)}弱收敛于F(x),记作4也称{Xn}按分布收敛于X,记作5定理4.3.2依概率收敛必然按分布收敛。即按分布收敛、弱收敛第三章多维随机变量及其分布

例4.3.2按分布收敛不一定有依概率收敛定理4.3.3若c为常数，则判断弱收敛的方法定理4.3.4弱收敛的充要条件是对应的特征函数点点收敛。即第四章大数定律与中心极限定理

例4.3.3若Xλ服从参数为λ的泊松分布明辛钦大数定律的证明若{Xn}独立同分布，且E(Xi)=a,i=1,2,…第四章大数定律与中心极限定理

习题4.3011402作业

4.4中心极限定理独立随机变量和例4.4.1、例独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1设{Xn}是独立同分布随机变量序列,且E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ20.i=1,2,…,则对任意实数y,有123第四章大数定律与中心极限定理

以定理称为林德贝格-勒维中心极限定理二项分布的正态近似(棣莫弗-拉普拉斯定理)定理4.4.2设n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为p,记un为n次试验中事件A出现的次数，记则对任意实数y，四章大数定律与中心极限定理

两点说明1二项分布正态近似的修正2P(k1≤un≤k2)=P(k1-0.5unk2+0.5)3应用举例4例5例6例7第四章大数定律与中心极限定理

第四章大数定律与中心极限定理01独立不同分布下的中心极限定理设{Xn}是相互独立随机变量序列,且存在有限的数学期望和方差:E(Xi)=ui,Var(Xi)=σi2.i=1,2,…,记Bn2=σ12+σ22+…+σn2,称下式为林德贝格条件：对任意的τ0，有02

设相互独立随机变量序列{Xn}满足林德贝格条件,则对任意的x,有若{Xn}是独立同分布随机变量序列，则随机变量和的标准化变量以标准正态分布为极限。定理4.4.3林德贝格中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理

01定理4.4.4李雅普诺夫中心极限定理02设{Xn}为相互独立随机变量序列，若存在δ0,满足03则对任意的x,有04例第四章大数定律与中心极限定理

习题4.4011802作业