大数定律和中心极限定理.doc
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§3.大数定律和中心极限定理
一．大数定律：
1.贝努里大数定律：
2.大数定律：
3．推论：
二．中心极限定理：
1．中心极限定理：
2．例题：
三．习题：略
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讲大数定律及中心极限定理.doc
第十四讲 大数定律及中心极限定理
1.依概率收敛
与微积分学中的收敛性的概念类似, 在概率论中, 我们要考虑随机变量序列的收敛性.
定义1 设是一个随机变量序列, 为一个常数,若对于任意给定的正数,有 则称序列依概率收敛于, 记为
定理1 设又设函数在点连续, 则
.
2. 切比雪夫不等式(以前讲过)
设随机变量有期望和方差,则对于任给, 有
.
上述不等式称切比雪夫不等式.
3. 大数定理
定理1 (切比雪夫大数定律)设,相互独立，且具有相同的数学期望和方差: ,。
做前n个随机变量的算术平均
则对任意正数, 有
或者说，
序列以概率收敛于，
即
定理表明: 当很大
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大数定律与中心极限定理.ppt
（2）在100次抽取中,数码“0”出现次数为由中心极限定理,其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即第31页,共35页，2024年2月25日，星期天=0.6826即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.第32页,共35页，2024年2月25日，星期天思考题1.甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1％？2.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概
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大数定理与中心极限定律.pdf
概率论与数理统计概率论与数理统计
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秦茂玲秦茂玲
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信息科学与工程学院信息科学与工程学院
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大数定律及中心极限定理.ppt
* 证 hn可看作由n个服从同一(0-1)分布的随机变量X1,X2,...,Xn的和hn=X1+X2+...+Xn, 其中E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,...,n), 由定理四得 * 例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,...,20), 设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布, 记V=V1+V2+...+V20, 求P(V105)的近似值. 解 易知E(Vk)=5, D(Vk)=100/12(k=1,2,...,20). 则 E(V)=E(V1+...+V20)=E(V1)+...+E(V20)=100, D(V)=
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5.大数定律和中心极限定理.ppt
概率论与数理统计;第五章 大数定律与中心极限定理;二、切比雪夫不等式;例5.2.1.设X~;1. 设随机变量X的方差D(X)=0.0001,
则由切比雪夫不等式可知
P{|X-E(X)|3×0.01}≥( ).;4. 设随机变量X的数学期望为μ,
标准差为σ,则由切比雪夫不等式
P{|X-μ|≥3σ}≤( ).;定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列{Xn}相互独立，且
均存在有限方差，且方差D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无关，则对任意的ε0 ，有;定理 （辛钦大数定
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4大数定律和中心极限定理.ppt
第四章 大数定律 及中心极限定理;大数定律的概念;算术平均值 在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试验n次, 就试验方案而言, 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量X1,X2,...,Xn. 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值, ;虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.;§1 大数定律;§1 大数定律;切贝谢夫不等式;示意图;§1 大数定律;§1 大数定律;2.中心极限定理;正态分布的概率密度的图形;二项分布的随机变量可看作许多相互独
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4_大数定律与中心极限定理.ppt
第四章 大数定律与中心极限定理;4.1 大数定律;例1、每次A发生的概率为0.75，重复进行n次，问n为多大时，才能使A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90。
例2、已知正常男性成人血液中，白细胞数平均为7300/ml，均方差为700，是估计每毫升含白细胞在5200~9400之间的概率。;2.依概率收敛;如;3.几个常用的大数定律;Th1.切比雪夫大数定律 设{Xn}满足：
为独立的随机变量序列，;Th2.贝努里大数定律
设 为n重贝努里试验中事件A发生的次数，p(A)=p.则对 有
;Th3
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4.2大数定律伯努利大数定律定义4.2.1当n充分大时,频率un/n与概率p间的大偏差的概率很小。即对任意的ε0,有12345定理4.2.1(伯努利大数定理)设un为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率,则事件A发生的频率un/n依概率收敛于事件A发生的概率.这种收敛性称为依概率收敛。第四章大数定律与中心极限定理
例4.2.1(用蒙特卡洛方法计算定积分1)设0≤f(x)≤1,求f(x)在区间[0,1]的积分值:1常用的几个大数定律2定义4.2.2设有一随机变量序列{Xn},对任意的ε0,有3则称该随机变量序列{Xn}服从大数定理。4第四章大数定律与中心极限定理
马尔可夫
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1第五章大数定律与中心极限定理
而一经取极限，则有简单的结果在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求,但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如,若对某一x,要计算和
事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。
在概率论中，另一类重要的极限定理是所谓“大数定律”。1在第一章中我们已经讨论了“频率的稳定性”。2大量的重复试验中，事件A发生的频率接近某
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第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理退出前一页后一页目录
第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律大数定律的定义切比晓夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律退出前一页后一页目录
第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？我们把这问题给出数学表达：这里反映了什么样的客观统计规律呢？如果工件的真值为退出前一页后一页目录
1大数定律即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。测量的经验就是：退出前一页后一页目录第五章大数定律及中心极限定理
第五
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大数定律与中心极限定理
大数定律和中心极限定理统称为极限定理。它们是概率论与数理统计的理论依据，在理论研究及应用上有着重要作用。大数定律随机事件在大量的重复试验中出现的频率呈现出稳定性；大量测量值的算术平均值也具有稳定性，等等。大数定律描述的正是这种现象。切比雪夫不等式——设随机变量X具有有限的数学期望E（X）和方差D（X），则对任意正数，有不等式：作理论推导；对X的分布作粗略估计。
例1设电流是随机变量，已知（1）用切贝雪夫不等式估计概率：（2）若求（1）中的概率。（3）若求（1）中的概率。解：（1）由切贝雪夫不等式，有（2）
例1设电流是随机变量，已知（1）用切贝雪夫不等式估计概率：（2）
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1.大数定律定义设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数a,使得对任意的ε0，有则称{Xn}依概率收敛于a,记作定理5.1(切比雪夫大数定律)设随机变量序列{Xn}相互独立,数学期望和方差均存在,E(Xn)=un,D(Xn)=σn2k(n=1,2,...),其中常数k与n无关,则对任意的ε0,有大数定律与中心极限定理
定理5.2设{Xn}为相互独立的随机变量序列,且有相同期望与方差:E(Xi)=u,方差D(Xi)=σ2(i=1,2,...),则对任意的ε0,有定理5.3（贝努里利大数定律）设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为un，则对任意ε0,事件的频率有
定
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大数定律及中心极限定理5.1大数定律.pptx
第一节大数定律一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结
一、问题的引入实例频率的稳定性随着试验次数的增加,启示:从实践单击图形播放/暂停ESC键退出定于某个常数.值有稳定性.的算术平均大量测量值中人们发现事件发生的频率逐渐稳
二、基本定理1.弱大数定理（辛钦大数定理）
证01由契比雪夫不等式得02即得03
01说明02几乎变成一个常数.03（这个接近是概率意义下的接近）04即在定理条件下,05n个随机变量的算术平均,06当n无限增加时,
弱大数定理（辛钦大数定理）还可表述为：
定理一的另一种叙述:
证明依概率收敛序列的性质:
[证毕]
伯努利大数定理
证
说明因而当n很大时,事件发生的频
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五章大数定律中心极限定理.pptx
§5.1大数定律
§5.2中心极限定理
;§5.1大数定律;对大数定律的直观认识;5.1.1大数定律问题的提法;依概率收敛;以概率1收敛;常用的几个大数定律;切比雪夫大数定律;切比雪夫弱大数定律的证明;辛钦弱大数定律;伯努利大数定律;意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。
不能说：，因为不管n有多大，仍可能有pn偏离p的情形出现(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。
;5.1.3强大数定律;推论5.1.2就是博雷尔（Borel强大数定律）.;有关大数定律习题选讲;§5.2中心极限定理;独立同分布的中心极限定理;林德伯格—莱维中心极限定理的推
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五章大数定律中心极限定理.pdf
§5.1大数定律
给出几种大数定律：
切比雪夫弱大数定律、弱大数定律
科尔莫哥强大数定律、博雷尔强大数定律
讨论“概率是频率的稳定值”（伯努利大数定律）
的确切含义.
对大数定律的直观认识
学校有10000个学生，平均身高为a；
若随意观察1个学生的身高X，则X与a可能相差较大。
11
随意