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考研数学高数定理证明的知识点

考研数学高数定理证明的知识点

考研数学微分中值定理要点

这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、

柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马引理的条件有两个：1.fx0存在2.fx0为fx的极值，结论为

fx0=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可

以按照导数定义写出fx0的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条

件怎么用。“fx0为fx的极值”翻译成数学语言即f__fx00或0，对x0的某去

心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分

的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的

保号性是个桥梁。

费马引理中的引理“”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就

是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最

高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。

条件有三：“闭区间连续”、开区间“可导”和端“值相等”，结论是在开区间

存在一点即所谓的中值，使得函数在该点的导数为0。

该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立

联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是马“后炮”式的：已经有了证明

过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，

那可是十足的创新，是要流芳百世的。

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闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定

理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理

的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可

能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。

大方向对，但过程没这么简单。起码要说清一点：费马引理的条件是否满

足，为什么满足?

前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和取极值“”，可导“”不难

判断是成立的，那么取极值“”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看

看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在

闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和

极值有联系呢?不难想到最值定理。

那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面

推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取

在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况讨论即可：若最

值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若

最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，

由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整

个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的

证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这

些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来

的基本思路，适用于证其它结论。

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以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两

个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上

对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接

下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构

造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中

值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑

人是谁。当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复

杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。

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