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微分中值定理在不等式证明中的应用

作者：段胜忠杨国翠

来源：《现代商贸工业》2017年第28期

摘要：通过典型例子的解答，给出利用拉格朗日中值定理、柯西中值定理和带拉格朗日余

项泰勒公式证明不等式的方法和步骤。

关键词：不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式；辅助函数

中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki2017.28.094

不等式是初等数学和高等数学中的重要内容，在数学分析、泛函分析、非线性泛函分析和

证明微分方程解的存在性方面有着非常重要的应用。同时，不等式的证明由于题型特殊，证明

的方法灵活多变，在培养学生的创新思维和创新能力上具有重要的作用。微分中值定理反映了

可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系，是用导数来研究函

数性态的理论基础，微分中值定理作为微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价

值。本文通过典型例子的解答，希望进一步概括和总结微分中值定理在不等式证明中的方法和

步骤，在加深学生对微分中值定理理解的同时，提升学生证明不等式能力。

预备知1识

定理1.1（拉格朗日中值定理）若函数fx满足如下条件：

（1）在闭区间a，b上连续；

（2）在开区间a，b内可导。

则在a，b内至少存在一点ξ，使得f′ξ-fab-a=fb。

定理1.2（柯西中值定理）若函数f（x）与g（x）满足下列条件：

（1）在闭区间a，b连续；

（2）在开区间（a，b）可导，且x∈（a，b），有g′（x）≠0，

则在（a，b）内至少存在一点c，使f′（c）g′（c）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）。

定理1.3（带拉格朗日余项的泰勒公式）若函数f（x）在点a存在n+1阶导数，则x∈Uo

（a）有

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（x）f=f（a）+f′（a）（x-a）+…+f（n）（a）n！（x-a）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-

a）n+1，其中ξ介于a与x之间。

典型例子2

利用拉格朗日中值定理证明不等式2.1

方法步骤：

（1）构造恰当的辅助函数；

（2）寻找合适的讨论区间；

（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩。

例2.1设ab0，n1，证明：nbn-1（a*b）

证明：设f（x）=xn，x∈b，a，因为f（x）在b，a上连续，在（b，a）内可导，所以由

拉格朗日中值定理知：fa-fb=f′（ξ）（a-b），ξ∈（a-b），即an-bn=nξn-1（a-b）.又因为01，

所以bn-1

例2.2证明不等式：当x0时，有x1+x

证明：令f（x）=ln（1+x），显然它在[0，x]（x0）上满足拉格朗日中值定理的条件，

故ξ∈（0，x），使f（ξ）=f（x）-f（0）x-0，即ln（1+x）-ln1x=11+ξ，又因为0

利用柯西中值定理证明不等式2.2

柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理，当一个函数取做自变量本身时，其

特殊化为拉格朗日中值定理.在不等式中如果出现两种不同类型的函数时一般考虑利用柯西中

值定理进行证明。

方法步骤：

（1）构造恰当的辅助函数f（x）和g（x）；

（2）寻找适当的讨论区间；

（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩.

例2.3若0cosx1-cosx2ex1.

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证明：只需证明ex2-ex1cosx1-cosx2ex1即可.设ft=et，gt=cost，则ft，gt在x1，x2上满

足柯西中值定理条件，所以存在ξ∈x1，x2，使得fx2-fx1gx2-gx1=f′ξg′ξ，ex2-ex1cosx2-

cosx1=eξ-sinξ，0