2025年高考数学二轮培优第19题新定义压轴题讲义专题08 高等背景下概率论的新定义（七大题型）（学生版）.doc
专题08高等背景下概率论的新定义
【题型归纳目录】
题型一：切比雪夫不等式
题型二：马尔科夫链
题型三：卡特兰数
题型四：概率密度函数
题型五：二维离散型随机变量
题型六：多项式拟合函数
题型七：最大似然估算
【典型例题】
题型一：切比雪夫不等式
【典例1-1】(2024·浙江·二模)某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
SKIPIF10
SKIPIF10
SKIPIF10
SKIPIF10
SKIPIF10
元件数(件)
12
18
36
30
4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望SKIPIF10，方差SKIPIF10，则对任意正数SKIPIF10，均有SKIPIF10成立.
(i)若SKIPIF10，证明：SKIPIF10；
(ii)利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？(注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件)
【典例1-2】(2024·吉林长春·模拟预测)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设SKIPIF10为一个非负随机变量，其数学期望为SKIPIF10，则对任意SKIPIF10，均有SKIPIF10，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当SKIPIF10为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设SKIPIF10的分布列为SKIPIF10其中SKIPIF10，则对任意SKIPIF10，SKIPIF10SKIPIF10，其中符号SKIPIF10表示对所有满足SKIPIF10的指标SKIPIF10所对应的SKIPIF10求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量SKIPIF10的期望为SKIPIF10，方差为SKIPIF10，则对任意SKIPIF10，均有SKIPIF10
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量SKIPIF10成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为SKIPIF10．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【变式1-1】(2024·高三·湖北·阶段练习)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论?概率论?函数逼近论?积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设SKIPIF10为离散型随机变量，则SKIPIF10，其中SKIPIF10为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量SKIPIF10的分布未知的情况下，对事件SKIPIF10的概率作出估计.
(1)证明离散型切比雪夫不等式；
(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数SKIPIF10.在一次抽奖游戏中，有SKIPIF10个不透明的箱子依次编号为