2025年高考数学二轮培优第19题新定义压轴题讲义专题02 函数与导数下的新定义（七大题型）（学生版）.doc

专题02函数与导数下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：曲率与曲率半径问题

题型二：曼哈顿距离与折线距离

题型三：双曲正余弦函数问题

题型四：凹凸函数

题型五：二元函数问题

题型六：切线函数新定义

题型七：非典型新定义函数

【方法技巧与总结】

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．

2、设SKIPIF10为平面上两点，则定义SKIPIF10为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作SKIPIF10SKIPIF10．

结论1：设点SKIPIF10为直线SKIPIF100外一定点，SKIPIF10为直线SKIPIF10上的动点，则SKIPIF10

结论2：设点SKIPIF10为直线SKIPIF10上的动点，点SKIPIF10为直线SKIPIF10上的动点，则SKIPIF10．

【典型例题】

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1】(2024·高三·重庆·阶段练习)定义：若SKIPIF10是SKIPIF10的导数，SKIPIF10是SKIPIF10的导数，则曲线SKIPIF10在点SKIPIF10处的曲率SKIPIF10；已知函数SKIPIF10，SKIPIF10，曲线SKIPIF10在点SKIPIF10处的曲率为SKIPIF10；

(1)求实数a的值；

(2)对任意SKIPIF10恒成立，求实数m的取值范围；

(3)设方程SKIPIF10在区间SKIPIF10内的根为SKIPIF10，…比较SKIPIF10与SKIPIF10的大小，并证明．

【典例1-2】(2024·浙江温州·二模)如图，对于曲线SKIPIF10，存在圆SKIPIF10满足如下条件：

①圆SKIPIF10与曲线SKIPIF10有公共点SKIPIF10，且圆心在曲线SKIPIF10凹的一侧；

②圆SKIPIF10与曲线SKIPIF10在点SKIPIF10处有相同的切线；

③曲线SKIPIF10的导函数在点SKIPIF10处的导数(即曲线SKIPIF10的二阶导数)等于圆SKIPIF10在点SKIPIF10处的二阶导数(已知圆SKIPIF10在点SKIPIF10处的二阶导数等于SKIPIF10)；

则称圆SKIPIF10为曲线SKIPIF10在SKIPIF10点处的曲率圆，其半径SKIPIF10称为曲率半径．

(1)求抛物线SKIPIF10在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线SKIPIF10的曲率半径的最小值；

(3)若曲线SKIPIF10在SKIPIF10和SKIPIF10处有相同的曲率半径，求证：SKIPIF10．

【变式1-1】(2024·高三·浙江宁波·期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所