2025年高考数学二轮培优第19题新定义压轴题讲义专题01 集合下的新定义(四大题型)(学生版).doc
专题1集合下的新定义
【题型归纳目录】
题型一:定义新概念
题型二:定义新运算
题型三:定义新性质
题型四:定义新背景
【方法技巧与总结】
1、解答新定义型创新题的基本思路是:
(1)正确理解新定义;
(2)根据新定义建立关系式;
(3)结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题;
(4)运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算,求得结果.
2、集合中的新概念问题,往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素,结合集合的知识加以创新,我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则,结合数学中原有的运算和运算规则,通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等,从而达到解答的目的.
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识,利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.
【典型例题】
题型一:定义新概念
【典例1-1】(2024·高三·浙江·阶段练习)设自然数SKIPIF10,由SKIPIF10个不同正整数SKIPIF10构成集合SKIPIF10,若集合SKIPIF10的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合SKIPIF10,记SKIPIF10为集合SKIPIF10元素的个数
(1)已知集合SKIPIF10,集合SKIPIF10,分别求解SKIPIF10.
(2)对于集合SKIPIF10,若SKIPIF10取得最大值,则称该集合SKIPIF10为“极异集合”
①求SKIPIF10的最大值(无需证明).
②已知集合SKIPIF10是极异集合,记SKIPIF10求证:数列SKIPIF10的前SKIPIF10项和SKIPIF10.
【典例1-2】(2024·北京·模拟预测)已知集合SKIPIF10,其中SKIPIF10都是SKIPIF10的子集且互不相同,记SKIPIF10的元素个数,SKIPIF10的元素个数SKIPIF10.
(1)若SKIPIF10,直接写出所有满足条件的集合SKIPIF10;
(2)若SKIPIF10,且对任意SKIPIF10,都有SKIPIF10,求SKIPIF10的最大值;
(3)若SKIPIF10且对任意SKIPIF10,都有SKIPIF10,求SKIPIF10的最大值.
【变式1-1】(2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习)设集合SKIPIF10、SKIPIF10为正整数集SKIPIF10的两个子集,SKIPIF10、SKIPIF10至少各有两个元素.对于给定的集合SKIPIF10,若存在满足如下条件的集合SKIPIF10:
①对于任意SKIPIF10,若SKIPIF10,都有SKIPIF10;②对于任意SKIPIF10,若SKIPIF10,则SKIPIF10.则称集合SKIPIF10为集合SKIPIF10的“SKIPIF10集”.
(1)若集合SKIPIF10,求SKIPIF10的“SKIPIF10集”SKIPIF1