2025年高考数学二轮培优第19题新定义压轴题讲义专题03 概率与统计下的新定义(五大题型)(教师版).doc
专题03概率与统计下的新定义
【题型归纳目录】
题型一:二项式定理新定义
题型二:排列组合新定义
题型三:概率新定义
题型四:统计方法新定义
题型五:信息熵问题
【方法技巧与总结】
解概率与统计下的新定义题,就是要细读定义关键词,理解本质特征,适时转化为“熟悉”问题.总之,解决此类问题,取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累,还需要不断的实践和反思,不然就谈不上“自然”的、完整的解题.
【典型例题】
题型一:二项式定理新定义
【典例1-1】(2024·湖南衡阳·二模)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数SKIPIF10都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:SKIPIF10(SKIPIF10为SKIPIF10的质因数个数,SKIPIF10为质数,SKIPIF10),例如:SKIPIF10,对应SKIPIF10.现对任意SKIPIF10,定义莫比乌斯函数SKIPIF10
(1)求SKIPIF10;
(2)若正整数SKIPIF10互质,证明:SKIPIF10;
(3)若SKIPIF10且SKIPIF10,记SKIPIF10的所有真因数(除了1和SKIPIF10以外的因数)依次为SKIPIF10,证明:SKIPIF10.
【解析】(1)因为SKIPIF10,易知SKIPIF10,
所以SKIPIF10;
又SKIPIF10,因为5的指数SKIPIF10,所以SKIPIF10;
(2)①若SKIPIF10或SKIPIF10,因为SKIPIF10,所以SKIPIF10;
②若SKIPIF10,且存在质数SKIPIF10,使得SKIPIF10或SKIPIF10的质因数分解中包含SKIPIF10,则SKIPIF10的质因数分解中一定也包含SKIPIF10,
所以SKIPIF10,
③若SKIPIF10,且不存在②中的SKIPIF10,可设SKIPIF10,
其中SKIPIF10均为质数,则SKIPIF10,
因为SKIPIF10互质,所以SKIPIF10互不相等,
所以SKIPIF10,
综上可知SKIPIF10
(3)由于SKIPIF10,所以可设SKIPIF10,SKIPIF10为偶数,
SKIPIF10的所有因数,除了1之外都是SKIPIF10中的若干个数的乘积,从SKIPIF10个质数中任选SKIPIF10个数的乘积一共有SKIPIF10种结果,
所以SKIPIF10
SKIPIF10
SKIPIF10,
所以SKIPIF10.
【典例1-2】(2024·安徽合肥·一模)“SKIPIF10数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设SKIPIF10是非零实数,对任意SKIPIF10,定义“SKIPIF10数”SKIPIF10利用“SKIPIF10数”可定义“SKI