不等式选讲经典习题.doc

知识网络 §1　绝对值型不等式 典例精析 题型一　解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)解不等式f(x)＞3； (2)若f(x)＞a对xR恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝ 所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0； 当1≤x≤2时，f(x)＞3无解； 当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3. 所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)(3，＋∞). (2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1. 因为f(x)＞a恒成立， 所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f(x)＝. (1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2][3，＋∞). (2)由题设知，当xR时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)|x＋1|＋|x－2|≥3， 所以－a≤3，即a≥－3. 题型二　解绝对值三角不等式 【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、bR恒成立，求实数x的范围. 【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x). 又因为≥＝2，则有2≥f(x). 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤. 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 【解析】(－∞，0){2}. 题型三　利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围. 【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3， 当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式组的解集为(－∞，－]； 当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立， 不等式组的解集为； 当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3， 不等式组的解集为[，＋∞). 综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－][，＋∞). (2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|不满足题设条件. 若a＜1，f(x)＝ f(x)的最小值为1－a.由题意有1－a≥2，即a≤－1. 若a＞1，f(x)＝ f(x)的最小值为a－1，由题意有a－1≥2，故a≥3. 综上可知a的取值范围为(－∞，－1][3，＋∞). 【变式训练3】关于实数x的不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (aR)的解集分别为A，B.求使AB的a的取值范围. 【解析】由不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2－(a－1)2≤x－(a＋1)2≤(a－1)2， 解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}. 由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0(x－2)[x－(3a＋1)]≤0， 当3a＋1≥2，即a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}， 因为AB，所以必有解得1≤a≤3； 当3a＋1＜2，即a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}， 因为AB，所以解得a＝－1. 综上使AB的a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3. 1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件. 2.绝对值不等式的解法中，＜a的解集是(－a，a)；＞a的解集是(－∞，－a)(a，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式≤c，≥c的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如≤x－11－x≤3x＋1≤x－1. 3.含有两个绝对值符号的不等式，如＋≥c和＋≤c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广. 典例精析 题型一　用综合法证明不等式 【例1】 若a，b，c为不全相等的正数，求证： g ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 【证明】 由a，b，c为正数，得 g ≥lg ；lg ≥lg ；lg ≥lg . 而a，b，c不全相等， 所以lg ＋lg ＋lg ＞lg ＋lg ＋lg ＝lg ＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c. 即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 【点拨】 本题采用了综合法证明