函数与极限的概念.ppt

不定积分的概念和性质 换元积分法和分部积分法 定积分的概念和性质 定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的应用和推广 第三章 一元积分学 不定积分的计算 一、第一换元法（“凑”微分法） 二、第二换元法(变量替换法) 三、分部积分法 §4 定积分的换元积分法和分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理1（定积分的凑微分法） 已知变换函数 在区间 上有连续的导函数，函数 在变换函数 的值域区间上连续，且 ，则 定积分“换元必换限 , 不换元不换限”．所以是否换元一般可根据计算的复杂程度来判断。 例 1 （令 ） 或者直接地 例 2 例 3 例 4 定理2（定积分的变量替换法） 已知函数 在区间 上，变换函数 （1）在区间 或 上有连续的导函数； （2） 时 ； （3） 。 则 注意 (1) 不定积分必回代原变量，定积分第二换元 “换元 必换限”。 (2) 换元后定积分 的上、下限分别是 例 5 令 ，则 时 ； 时 例 6 令 ，则 时 ； 时 例 7 已知 在 上连续，试证： 证明： 分析：注意到两定积分的积分区间没有变动，被积函数中含有共同的 。我们要寻找的变换函数必须满足这些要求。 令 ，则 时 ； 时 移项并化简后即得结论。 此例说明：定积分的变量替换法可以用来证明积分恒等式。 例 8 在 上连续，试证： 证明： 令 ，则 时 ； 时 左边 =右边。 为连续奇函数时， 为连续偶函数时， 特别地: 例 9 例 10 定理3（定积分的分部积分法） 已知函数 都可导，则 二、 定积分的分部积分法 例 11 例 12 例 13 在 上可积，且 求 例 14 令 ，则 例15 所以 又 所以 为偶数时， 为奇数时。 这就是所谓的Wallis公式。