导热问题的数值解法课件.ppt

上海交通大学*導熱問題的數值解法*§4-0引言求解導熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數值計算法；(3)實驗法三種方法的基本求解過程(1)所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；(2)數值計算法，把原來在時間和空間連續的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關於這些值的代數方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；並稱之為數值解；*(3)實驗法就是在傳熱學基本理論的指導下，採用對所研究對象的傳熱過程所求量的方法3三種方法的特點(1)分析法a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數值計算提供比較依據；b局限性很大，對複雜的問題無法求解；c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見*(2)數值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對於複雜問題更顯其優越性；與實驗法相比成本低(3)實驗法:是傳熱學的基本研究方法，a適應性不好；b費用昂貴數值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學模擬（MD）*§4-1導熱問題數值求解的基本思想

及內部節點離散方程的建立1物理問題的數值求解過程建立控制方程及定解條件確定節點（區域離散化）建立節點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值求解代數方程是否收斂解的分析改進初場是否*二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題2例題條件*xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網格線、節點、介面線、步長二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題*4建立離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）級數展開法；(2)多項式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)*(1)泰勒級數展開法根據泰勒級數展開式，用節點(i,j)的溫度ti,j來表示節點(i+1,j)而溫度ti+1,j用節點(i,j)的溫度ti,j來表示節點(i-1,j)的溫度ti-1,j*若取上面式右邊的前三項，並將式①和式③相加移項整理即得二階導數的中心差分：同樣可得：截斷誤差未明確寫出的級數餘項中的ΔX的最低階數為2*

對於二維穩態導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：其節點方程為：*(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恆，從而獲得溫度場的代數方程組，它從基本物理現象和基本定律出發，不必事先建立控制方程，依據能量守恆和Fourier導熱定律即可。能量守恆：流入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內能的增量即：單位：*?即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內熱源生成熱＝控制體內能的增量注意：上面的公式對內部節點和邊界節點均適用*穩態、無內熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內部節點：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)?x?x?y?y(m,n+1)*以二維、穩態、有內熱源的導熱問題為例此時：可見：當溫度場還沒有求出來之前，我們並不知道所以，必須假設相鄰節點間的溫度分佈形式，這裏我們假定溫度呈分段線性分佈，如圖所示*(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見，節點越多，假設的分段線性分佈越接近真實的溫度布。