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直线与圆锥曲线的位置关系

(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M

到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，若直线l与轨迹C恰好

有一个公共点，求实数k的取值范围．

解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即x－1＋y＝22

|x|＋1，

化简整理得y＝2(|x|＋x)．2

4x，x≥0，

故点M的轨迹C的方程为y＝2

0，x＜0.

(2)在点M的轨迹C中，记C：y＝4x(x≥0)，C：y＝0(x＜0)．2

12

依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．

y－1＝kx＋2，

由方程组

y＝4x，2

可得ky－4y＋4(2k＋1)＝0.①2

1

当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故1

4

1

此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点，1.

4

当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k＋k－1)．②2

设直线l与x轴的交点为(x0)，

0,

2k＋1

则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x＝－0k.③

Δ＜0，1

(ⅰ)若由②③解得k＜－1，或k＞.

x＜0，2

0

1

所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C没有公共点，与曲线

21

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C有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．

2

2k＋k－1＝0，2

(ⅱ)若Δ＝0，即2k＋1解集为.

x≥0，≤0，

0k

1

综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，

2

直线l与轨迹C恰好有一个公共点．

【结论探究】本典例条件不变，若直线l与轨迹C分别有两个

公共点、三个公共点时，求实数k的取值范围．