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直线方程的综合应用

角度1与基本不等式相结合求最值问题

已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正

半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方

程为x＋2y－4＝0__.

xy

解析：法一设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l

ab

21212

过点M(2,1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S

ababab△

11211

的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a

AOB22ab2

xy

＝4，b＝2，故直线l：＋＝1，即x＋2y－4＝0.

42

法二设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，

1

A2－，0，B(0,1－2k)，

k

11

S＝(1－2k)·2－

△AOB2k

1111



＝4＋－4k＋－≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k

2k2k



11

＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y

22

－4＝0.

角度2由直线方程求参数问题

已知直线l：ax－2y＝2a－4，l：2x＋ay＝2a＋4，22

12

当0＜a＜2时，直线l，l与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的

12

1

面积最小时，实数a＝.

2

解析：由已知画出简图，如图所示．

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因为l：ax－2y＝2a－4，1

所以当x＝0时，y＝2－a，

即直线l与y轴交于点A(0,2－a)．1

因为l：2x＋ay＝2a＋4，22

2

所以当y＝0时，x＝a＋2，2

即直线l与x轴交于点C(a＋2,0)．2

2

易知l与l均过定点(2,2)，即两直线相交于点B(2,2)．

12

则四边形AOCB的面积为

11

S＝S＋S＝