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概率与数理统计第七章.ppt

发布:2025-02-13约2.66千字共83页下载文档
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第七章参数估计上传snr5aliu(刘景波)仅用于学习交流

面临的问题:总体所服从的分布类型是知道的,而它的某些参数却是未知的.问题解决的方法:构造“合理”的统计量来估计这些未知参数估计.涉及到两个问题:1〕估计的方法;2〕估计的评选标准.

§7.1点估计(PointEstimation)本节介绍两个最根本的方法——矩法和极大似然法

矩法(TheMethodofMoments)

因此当样本容量n较大时可以用样本的k阶矩来作为总体的k阶矩的一个估计,这时所得到的估计就是矩法估计.矩法的优点是计算较简便,且当样本容量很大时,矩估计接近被估计参数真值的可能性很大.矩法的精髓是替换,即用样本矩替换总体矩.替换原理与矩法

2)解上述方程组,将未知参数表示成总体矩的函数3)用样本矩代替相应的总体矩,即得未知参数的矩法估计量其中矩法的根本步骤〔一〕

2)近似替换,列出方程组有矩法的根本步骤〔二〕

最大似然法(Themethodofmaximumlikelihood)最大似然法,也叫极大似然法,它最早是由高斯所提出的,后来由英国统计学家费歇(R·A·Fisher)于1922年在其一篇文章中重新提出,并且证明了这个方法的一些性质.极大似然估计这一名称也是费歇给的.它是建立在极大似然原理的根底上的一个统计方法.为了对极大似然原理有一个直观的认识,我们先来看一个例子.

例设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球1个黑球,乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽取一箱,然后再从这箱中任取一球,结果发现是白球.问这球是从哪一个箱子中取出的?分析:如果该箱是甲箱,那么取得白球的概率为0.99;如果该箱是乙箱,那么取得白球的概率为0.01.因此,“该箱是甲箱”比“该箱是乙箱”更好地解释了“取出的球是白球”这一事实,因此甲箱“看起来更像”是真的.结论:这个箱子是甲箱.

那么称

解X的分布律为似然函数为取对数,有

令解得的极大似然估计值为所以其极大似然估计量为与矩估计法得到的结果一致。

例设总体X服从参数为的指数分布,试求的极大似然估计值.解设是一组样本观测值,那么似然函数为所以,当时,,取对数,得

令解得的极大似然估计值为在本例中,如果n=12,样本观测值为8,10,13,14,19,21,28,34,41,52那么此时,如果总体X表示的是某种电子产品的寿命(单位:百小时),那么该电子产品的寿命近似服从参数为0.04494的指数分布.

解似然函数为取对数得

令解之得,的最大似然估计值为的最大似然估计量为

解似然函数为取对数得令

解似然函数为

例如,在上例中的极大似然估计为

例设总体X的概率密度为是取自X的样本,是未知参数,试分别用矩法和极大似然估计法给出的估计量解总体X的数学期望为令,得未知参数的矩估计量为

设是相应的样本值,则似然函数为当时,且令解得的极大似然函数值为极大似然估计量为

§7.2点估计的评价标准

7.2.1无偏性

证所以是的无偏估计量.X的概率密度与分布函数分别为:

所以的概率密度为所以有但是有所以是的渐进无偏估计注:假设令,那么它是的无偏估计量.

一般来说,一个参数往往有多个无偏估计量.假设有两个无偏估计量:,那么当a+b=1时也是的无偏估计量。样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计量.因为所以

7.2.2有效性通过上面的例子我们,同一个未知参数可以有多个无偏估计量.这就要求我们提出更高的标准,使得我们能够进一步评价不同的无偏估计量之间的优劣.估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数真值周围波动,但是波动的幅度有多大却并没有告诉我们.自然地,我们希望估计量波动的幅度越小越好,因为幅度越小,估计值与参数真值有较大偏差的可能性就越小.由于衡量随机变量波动幅度的量就是方差.这样就有了我们下面要介绍的有效性的概念.

首先又

因此,当时,有即比有效.

解X的分布律〔概率函数〕为于是而

三.一致性或相合性(Consistency)

直观上看,当n增大时,样本信息增多,当然希望估计量越来越靠近真值的概率也越来越大,这种想法就引出了上面的一致性概念.一致估计量一般地是当样本容量很大时,才能显示其优点.

解由正态分布的性质以及样本的独立性可知欲使

§7.3区间估计

为了弥补点估计的缺乏,本节讨论区间估计的概念.区间估计是一种重要

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