第五章 系统运动的稳定性2.1-5.3）.ppt

*************赛尔维斯特准则*************************5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理*例5.3：试确定下列非线性系统的李雅普诺夫函数，并判断稳定性解：原点(x1=0,x2=0)是该系统唯一的平衡状态。1）计算雅克比矩阵5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理*2）对有因此，可用克拉索夫斯基定理确定李雅普诺夫函数3）当||x||→∞有因此系统平衡状态为大范围渐近稳定*****由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统。经典控制理论中对稳定性讨论正是建立在间接法的思路基础上的。*因果系统，即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。对于连续时不变系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统，*因果系统，即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。对于连续时不变系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统，*因果系统，即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。对于连续时不变系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统，***因果系统，即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。对于连续时不变系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统，************欧几里得范数，其几何意义是空间距离的尺度在状态空间中，状态向量组距离原点的距离*欧几里得范数，其几何意义是空间距离的尺度在状态空间中，状态向量组距离原点的距离******5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理直接法的关键是构造李雅普诺夫函数!对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此，目前直接法仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。通常用二次型函数作为李雅普诺夫函数。二次型及其定号性是李雅普诺夫第二法的数学基础5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理一、数学概念回顾※1、二次函数的定义及其表达式①二次型标量函数定义：设为n个变量，定义二次型标量函数为：其中，，则称P为实对称阵。显然，二次型V(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理一、数学概念回顾1、二次函数的定义及其表达式②二次型的标准型:当P=diag{p1,…,pn},二次型只含有平方项的称为二次型的标准型，如：5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理一、数学概念回顾设:,且在x=0处，V(x)≡0。对x≠0的任何向量。①V(x)0，称V(x)为正定的。例如：②V(x)0，称V(x)为负定的。例如：③V(x)≥0，称V(x)为正半定的。例如：④V(x)≤0，称V(x)为负半定的。例如：当无法确定V(x)时，称V(x)为不定的。因此二次型和它P的矩阵是相互唯一决定的，P矩阵的符号与V(x)一致，当V(x)是正定时其P矩阵为正定矩阵。2、标量函数V(x)的符号和性质5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理一、数学概念回顾※3、二次型标量函数定号性判别准则(Sylvester准则)二次型V(x)为正定的充要条件即矩阵P为正定矩阵的充要条件是：P阵的所有各阶主子行列式均大于零:即:5.3李雅普诺夫第二法(直接法)的主要定理一、数学概念回顾3、二次型标量函数定号性判别准则(Sylvester准则)二次型V(x)为负定的充要条件:-V(x)是正定函数