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破解嵌套函数的零点问题

函数的零点问题是高考的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点问题，通常借助函

数图象、性质求解即通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数。.

1.嵌套函数形式：形如fgx



2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤

(1)换元解套，转化为t=g(x)与y=f(t)的零点．

(2)依次解方程，令f(t)=0，求t，代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数．

注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．

一、嵌套函数零点个数的判断

|lgx|,x0，2

【例1】已知f(x)=|x|则函数y=2[f(x)]-3f(x)+1的零点个数是()

2，x≤0，

A.3B.5C.7D.8

21

解析：B函数y=2[f(x)]-3f(x)+1=[2f(x)-1][f(x)-1]的零点，即方程f(x)=和f(x)=1的

2

|lgx|,x0，1

根，函数f(x)=|x|的图象如图所示，由图可得方程f(x)=和f(x)=1共有5个根，即函数2

2，x≤0

y=2[f(x)]-3f(x)+1有5个零点，故选B.2

点评判断嵌套函数零点个数的步骤：①换元解套，转化为t=g(x)与y=f(t)的零点；②依次解方程，令

f(t)=0求出t的值，代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.

跟踪训练

-x+1，x≤1，

1.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为()

ln(x-1),x1，

A.3B.4C.2D.1

解析：A设μ=f(x)，令g(x)=0，则f(μ)-2=0，当μ1时，则f(μ)=ln(μ-1)，所以ln(μ-1)-2=0，

μ=e+1，当μ≤1时，f(μ)=-μ+1-2=0，则μ=-1，作出函数μ=f(x)的图象如图所示，直线μ=-1与2

2

函数μ=f(x)的图象只有1个交点，直线μ=e+1与函数μ=f(x)的图象有2个交点，因此函数g(x)有3个

零点.故选A.

1

二、求嵌套函数零点中的参数

ln(-x-1),x-1，

【例1】函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围

2x+1，x≥-1，

是[-1，+∞).

解析：设t=f(x)，令g(x)=f(f(x))-a=0，则a=f(t).在同一平面直角坐标系内作y=a，y=f(t)的图

象(如图).易知当a-1时只有一个零点，当a≥-1时，y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横

坐标为t，t(不妨设tt)，则t-1，t≥-1.当t-1时，t=f(x)有一解；当t≥-1时，t=f(x)有两11111