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第五章 常用概率分布 二项分布 （Binomial Distribution） 一、概念 在同样条件下，进行n 次相互独立试验，每次试验只有二者居一互相排斥的结果（非阳即阴），那么，这n次试验的结果构成n次试验分布型。它是一种重要的离散型随机变量的分布 记作B（X；n，π） (1713,J.Bernoulli) 摸球游戏 一个袋子 5个乒乓球 2黄 3白 每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6 三个特点： 1.各次摸球彼此独立 2.每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球 3.每次摸到黄球（或摸到白球）的概率固定 n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布 二条概率法则 （1）概率乘法原则 n个独立事件同时发生的概率等于各独立事件的概率之积 （2）概率加法原则 n个互不相容事件中，任一事件发生的概率等于这n个事件 的概率之和 不同数目小白鼠对毒物反应的重复试验 动物数 可能发生的结果 对应的概率 各项对应的概率相当 于[π＋(1-π)]n 的展开 1 D L π (1-π) π＋(1-π)＝[π＋(1-π)]1 DL π·(1-π) 2 DD LL π2 (1-π)2 π2 ＋2π(1-π)＋(1-π)2 LD (1-π)·π ＝[π＋(1-π)]2 DDL DLL π2 ·(1-π) π·(1-π)2 π3 ＋3π2 (1-π)＋3π (1-π)2 3 DDD DLD LDL LLL π3 π2· (1-π) π·(1-π)2 (1-π)3 ＋(1-π)3 LDD LLD π2 (1-π) π(1-π)2 ＝[π＋(1-π)]3 二项式的展开式 [π＋(1-π)]n ＝πn ＋nπn-1 (1-π)＋……＋ n！/(x！(n-x)！)πn-x (1-π)x ＋……＋ｎπ(1-π)n-1 ＋(1-π)n =1 式中x：某事件出现的次数(x＝0,1,2 ， …，n) π：某事件发生的概率 （1-π）：某事件不发生的概率 n ： 样本含量 Cnx ：二项式展开后的各项系数 二项分布两个基本假设 (1) 各事件是相互独立的，即任何一事件的发生与否， 不影响其他事件发生的概率。 (2) 各个随机事件只能产生相互排斥的两种结果。 二项分布的概率函数 P(x)＝Cx n πx (1-π)n-x (x＝0, 1, 2,…，n) 式中 Cx n ＝n！/[x！(n-x)！] 即如果一个事件A, 在n个独立试验中, 每次试验都具有 概率π,那么, 这一事件A将在n次试验中出现x次的概率。 例5-1 用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效， 每一例有效的概率为π。某医生用此方法治疗 头痛患者5例，3例有效的概率是多少？ 每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独 立，5例患者中可以是其中的任意3例有效 例5-2 临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为 60%，现以该法治疗3例，其中2例有效的概率 是多大？ 表5-1 治疗3例可能的有效例数及其概率 有效人数(x) x (1－)n-x 出现该结果概率P(x) 0 1 0.60=1 0.4×0.4×0.4 0.064 1 3 0.6 0.4×0.4 0.288 2 3 0.6×0.6 0.4 0.432 3 1 0.6×0.6×0.6 0.40 0.216 各种可能结果出现的概率合计 P(X)=1（X=0,1,…,n） 欲求1例以上有效的概率则 P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216