2017_2018学年高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1正弦定理课件北师大版必修.ppt

-*- 第二章 解三角形 §1　正弦定理与余弦定理 1.1　正弦定理 1.能够利用向量的方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的基本问题. 2.会求三角形的面积和外接圆的半径. 3.会利用正弦定理解决实际问题. 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中 (1)正弦定理的变形: (2)正弦定理中的比值大小. 设△ABC的外接圆的半径为R,则有 【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 其中正确的个数是(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B. 答案:B 答案:60° 2.三角形的常用面积公式 【做一做2】 在△ABC中,若a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积S=　　　　　.? 答案:20 3.解三角形 一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 利用正弦定理可以解两类三角形: (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角; (2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角. 【做一做3-1】 在△ABC中,若AB=3,B=75°,C=60°,则BC=　　　　　.? 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 利用正弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中,解下列三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10; 分析:(1)分清已知和所求,选择一个与条件相吻合的正弦定理的式子进行求解;(2)已知两边及其中一边的对角,由正弦定理先求出另一边对角的正弦值,然后再求其他边与角. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形的内角和定理,可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理计算出三角形的另两边.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断解的情况.若有解,再求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦值求角,还需对角的情况加以讨论,如果有解,是一解还是两解,再由三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 (1)在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求b的边长及三角形外接圆的半径. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 判断三角形的形状 分析:三角形的形状通常由三角形内角的关系确定,也可以由三角形三边的关系确定.本题可考虑把边化成角,寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判定. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思根据已知条件,通过恰当地恒等变形得出边之间的关系或角之间的关系,从而判断出三角形的形状. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析:由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, ∴sin(B+C)=sin2A,∴sin A=sin2A. ∵0Aπ,sin A≠0, ∴△ABC为直角三角形. 答案:A 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 求三角形的面积 (1)求sin C的值; (2)求△ABC的面积. 分析:(1)先利用三角形内角和定理用角A表示角C,再利用两角差的正弦公式求sin C;(2)利用正弦定理求出a的值,然后由公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点:忽视三角形解的个数致误