2017_2018学年高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例2.3.1距离问题与高度问题课件北师大版必修.ppt

-*- §3　解三角形的实际应用举例 第1课时　距离问题与高度问题 1.了解仰角、俯角、方向角、方位角的概念及其在解三角形问题中的应用. 2.了解正弦定理、余弦定理在求实际问题中的距离、高度等的作用. 1.正弦定理 其中R是△ABC外接圆的半径. 2.余弦定理及推论 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C .? 答案:C 3.仰角、俯角 在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角.当视线在水平线之上时,称为仰角,当视线在水平线以下时,称之为俯角,如图所示. 【做一做2】 从地面上观察一座建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得建筑物顶部的仰角为β,则山顶的仰角为(　　). A.α+β B.α-β C.β-α D.α 答案:C 4.方位角、方向角 方位角:指从正北方向沿顺时针方向转到目标方向线所成的角,如图①中点B的方位角为α. 图① 图② 方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.如图②中∠ABC为北偏东60°或东偏北30°. 【做一做3】 一艘海轮从A处出发,以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行,30 min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 (　　). 解析:如图所示,AB=20 n mile,∠BAC=30°, ∠ABC=40°+65°=105°,∠ACB=45°. 由正弦定理, 答案:A 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 求中间有障碍物的两点间的距离 【例1】 如图所示,为了开凿隧道,要测量隧道上D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C,测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80 m,BE=40 m(A,D,E,B在一条直线上),计算隧道DE的长(精确到1 m). 分析:显然,BC,AC及其夹角C都已知,故可利用余弦定理直接求得AB的长,进而减去AD与BE的长得DE的长. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求中间有障碍物的两点间的距离问题,可直接利用正弦定理与余弦定理求解. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 如图所示,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离.测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55 m,∠BAC=51°,∠ACB=75°,求A,B两点间的距离(精确到0.1 m). 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 求两个不可到达的点之间的距离 【例2】 如图所示,已知海岸边A,B两海事监测站相距60 n mile,为了测量海平面上两艘轮船C,D间的距离,在B,A两处分别测得∠CBD=75°,∠ABC=30°,∠DAB=45°,∠CAD=60°(A,B,C,D在同一个水平面内). 请计算出C,D两艘轮船间的距离. 分析:欲求C,D间的距离,必在三角形内求解,本题既可在△ACD内求解,又可在△BCD内求解,已知一个角,则可根据已知条件求出三角形的另外两条边. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题是解决测量不能到达的两点间的距离的问题,这是测量中的常见题型,需要将求距离问题转化为三角形问题进行思考,解决方法一般是通过解一系列的三角形,达到求解目的. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛之间的距离是(　　). 答案:D 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 求底部可到达的物体的高度 【例3】 如图所示,为测量校园内一棵松树AB的高度,一个人站在距离松树a m的E处,利用测角仪测得仰角∠ACD为α°,已知测角仪的高度为b m,求松树的高. 分析:直接用正切求得AD长,再利用AB=AD+DB求得松树高. 解:由题意可知AD=a·tan α,∴AB=b+a·tan α(m),即松树的高为(b+a·tan α)m. 反思求底部可到达的物体的高度,实质就是解直角三角形. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 在国庆期间,去北京旅游的王凡在天安门广场A处看到正前方上空一红灯笼,测得此时的仰角为45°,前进20 m到达B处,测得此时的仰角为60°.王凡身高1.8 m,试计算红灯笼的高度(精确到1 m). 分析:根据题意画出平面图形,解△ABC可得BC,在