2025新高考数学复习专练：立体几何（30题）（解析版）.pdf

黄金冲刺大题03立体几何

1.(2024•黑龙江•二模)如图，已知正三棱柱ABC-44。的侧棱长和底边长均为2,M是的中点，N

是A耳的中点，尸是Bg的中点.

(1)证明：肱V〃平4CP；

(2)求点P到直线MN的距离.

【答案】(1)证明见解析

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【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A-孙z,设平尸的一个法向量为万=(x,y,z),利用空间向量法

证明加工=0即可；

(2)利用空间向量法即可求解点线距.

【详解】(1)由题意知，A41_L平ABC,ZBAC=60°,而ABu平ABC,

所以在平ABC内过点A作y轴，使得ABIy轴，

建立如图空间直角坐标系A-型，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(l,0),4(0,0,2),B,(2,0,2),得“(3,3,0),N(l,0,l),P(3,@,2),

2222

所以水=(l,g,-2),郎=§,乎,0),丽=(-；,-乎,1),

设平4p的一个法向量为元=(x,y,z),

n•A^C=x+若y-2z=0

则一，+也y=0，令x=l,得y=-A/§\Z=-1所以3=1（,-疯-1）,

n^P=

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所以向S3=-；xl+(-等)x(-』)+lx(-D=0,又跖V不在平ACP内

即MN〃平4CP；

(2)如图，连接PM,由(1)得丽=(0,0,-2),

则丽・丽=-2,西=①网=2,

,(MN-PM26

所以点尸到直线MN的距离为d=卢必一(2)=杷.

2.(2024•安徽合肥•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底ABCD是边长为2的菱形，/区位)=60。,加是

侧棱PC的中点，侧PAD为正三角形，侧上4£_1_底ABCD.

P

(1)求三棱锥M-ABC的体积；

(2)求AM与平PBC所成角的正弦值.

【答案】(呜

(2)画.

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【分析】(1)作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线垂直，由中位线得到M到平ABCD的距离为也,

进而由锥体体积公式求出答案；

(2)证明出建立空间直角坐标系，求出平的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求

出线角的正弦值.

【详解】(1)如图所示，取AD的中点。，连接尸0.

因为△R4D是正三角形，所以尸OLAD.

又因为平底ABCD,尸Ou平P4D,平E4D平ABCD=AD,

所以PO,平ABCD,且尸0=血.

又因为M是PC的中点，M到平ABCD的距离为也，

=—x2x2xsin——

所以