2021年度排列组合二项式定理知识点.doc

排列组合二项定理 考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数两个性质．二项式定理．二项展开式性质．考试规定：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决某些简朴应用问题．（2）理解排列意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决某些简朴应用问题．（3）理解组合意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决某些简朴应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式性质，并能用它们计算和证明某些简朴问题． 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复浮现，按照一定顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选用元素办法都是m个，因此从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义理解. 定义：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素一种排列. ⑵相似排列. 如果；两个排列相似，不但这两个排列元素必要完全相似，并且排列顺序也必要完全相似. ⑶排列数. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素一种排列. 从n个不同元素中取出m个元素一种排列数，用符号表达. ⑷排列数公式： 注意： 规定0！= 1 规定 2. 具有可重元素排列问题. 对具有相似元素求排列个数办法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk ，则S排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 三、组合. 1. ⑴组合：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素一种组合. ⑵组合数公式： ⑶两个公式：① ② ①从n个不同元素中取出m个元素后就剩余n-m个元素，因而从n个不同元素中取出 n-m个元素办法是一一相应，因而是同样多就是说从n个不同元素中取出n-m个元素唯一一种组合. （或者从n+1个编号不同小球中，n个白球一种红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球选法有） ②依照组合定义与加法原理得；在拟定n+1个不同元素中取m个元素办法时，对于某一元素，只存在取与不取两种也许，如果取这一元素，则需从剩余n个元素中再取m-1个元素，因此有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，因此共有C种，依分类原理有. ⑷排列与组合联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几种惯用组合数公式 ②惯用证明组合等式办法例. i. 裂项求和法. 如：（运用） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用递推）如：. vi. 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式其中系数，左边为 ，而右边 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题办法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定规定条件下，将几种有关元素当作一种元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”排列.它重要用于解决“元素相邻问题”，例如，普通地，n个不同元素排成一列，规定其中某个元素必相邻排列有个.其中是一种“整体排列”，而则是“局部排列”. 又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有. 注：①③区别在于①是拟定座位，有种；而③商品地位相似，是从n件不同商品任取2个，有不拟定性. ④插空法：先把普通元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端空档中，此法重要解决“元素不相邻问题”. 例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同排法种数为多少？（插空法），当n – m+1≥m，即m≤时故意义. ⑤占位法：从元素特殊性上讲，对问题中特殊元素应优先排列，然后再排其她普通元素；从位置特殊性上讲，对问题中特殊位置应优先考虑，然后再排其她剩余位置.即采用“先特殊后普通”解题原则. ⑥调序法：当某些元素顺序一定期，可用此法.解题办法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素全排列有种，由于规定m个元素顺序一定，因而只能取其中某一种排法，可以运用除法起到去调序作用，即若n个元素排成一列