傅里叶级数分析.doc

傅里叶级数分析 一、用完备正交函数集表示信号????把信号分解成正交分量之和的研究方法在信号系统理论中占有重要的地位。信号的正交分解类比于矢量的正交分解。祥见第六章。 1.正交函数集????假设有n个函数,,...构成一个函数集，这些函数在区间内满足如下正交特性： 则此函数集称为正交函数集。即如果两个信号g(t)和f(t)的标量积为零，也就是互能量为零，则称两个信号是互相交的。可以形象地说，正交信号彼此极端的“不相似”。任意信号都可以用完备正交函数来表示。 2.完备????所谓完备函数系是指:在系外不存在与系内的函数互为正交的函数。可以这样来理解：如果不存在x(t)，使得它满足,那么在区间内互相正交的函数就称为完备正交系。相反,如果能找到一个函数x(t)，使得上面的积分为零，那就说明x(t)与函数系中的每一个函数都是正交的，因此它本身就属于此函数系，显然不包含x(t)，此函数系就不完备。 3.完备函数系表示任意函数???? 如果此函数系是完备正交的,那么任何函数都可以表示为: 其中:。 4.矢量的正交与正交分解 ????行矢量x和列矢量y正交的定义就是它们的内积（即点积）为零。。这里的T表示矢量的转置运算。一个n维矢量，可用一个n维的正交矢量集中各矢量的线性组合表示。比如在三维空间中，以矢量[2，0，0]，[0，2，0]，[0，0，2]所组成的集合，就是一个正交矢量集。如三维矢量s=[3,4,5]可以写成：，这就是矢量的正交分解。一般情况下，n维矢量需要分解成n个正交分量，如果只把它表示成不足n个正交分量的线性组合，就会产生误差，比如三维矢量s=[3,4,5]，如果只用两个正交矢量[2，0，0]及[0，2，0]的线性组合表示，设表达式为：，就会产生一个如下的误差： 为使误差最小,须使。如下图所示: ????由误差表达式可以看出：这是一个三维矢量的距离误差，它与投影平面正交(即与投影平面的两基底矢量都正交。于是具有最小误差的近似矢量为s=[3,4,0]，正好是原矢量s=[3,4,5]在由[2,0,0]和[[0,2,0]所张成的二维基底平面上的正交投影。 5.三角函数的正交性 ????根据正交函数的正交性，对于三角函数有如下关系： 所以，三角函数是正交函数。 6.指数函数的正交性: ?二.傅里叶级数 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：????三角函数式的傅立里叶级数。????复指数函数式的傅里叶级数。 1.傅立叶级数的定义 利用三角函数的和差化积公式可得到如下的表示式: 三角形式 指数形式 直流系数 直流系数 余弦分量系数 正频率系数 正弦分量系数 负频率系数 2.几点说明????a)三角函数傅立叶级数和指数的傅立叶级数不是两种不同类型的级数，而是同一级数的两种不同表示方法。 ????b)指数级数中，n为同值的正整数负整数的项都为正交函数集。而三角级数中，n为同值的正整数和负整数构成的一对函数并不相互正交。 ????c)任意信号都可以表示为不同频率和不同幅度正弦信号的迭加。 ????观察正弦信号的合成与其频谱之间的对应关系 三.傅里叶级数的收敛 ??? 1.傅里叶级数 ????? 由于傅里叶级数的计算涉及到无限项求和，因此，要用连续傅里叶级数表示周期函数，这个周期函数需要满足一定的条件，即狄里赫利条件。 ????条件1.在任何一个周期内周期信号必须模可积，即。这意味着f(t)在一个周期内的能量是有限的，这一条件保证了分析公式计算的每一个傅立叶系数都是有限的。 ????条件2.在的任何一个周期内只有有限个数的极大值和极小值。这一条件意味着，在一个周期内只允许有限次起伏。 ????条件3.在f(t)的任何一个周期内，只允许有限个阶跃型间断点，且在这些间断点上，只出现有限跃变值。 ????注意：若t连续，，此式收敛于f(t)；若是间断点，傅立叶级数表达式则收敛于函数左极限和右极限的算数平均值：。第一个条件是充分条件，但不一定必要；后两个条件是必要条件，但不充分。 ? ???不满足狄里赫利条件的周期信号，在自然界中都属于一类比较反常的周期信号，即所谓病态的函数。它们在信号与系统的研究中没有什么特别的重要性。对于极为广泛的周期信号，包括具有间断点的周期信号，一般说来可放心的用它的傅里叶级数表示。 ? ???a.对于处处连续的周期信号，用分析公式可求出傅立叶系数，用合成公式合成出来的信号，在所有的t都收敛于原信号。 ? ???b.对于一个具有阶跃间断点的周期信号，除那些孤立的间断点外，在其余所有点上，连续傅里叶级数都收敛于原周期信号的值；在孤立的间断点上，则收敛于间断点左，右极限的平均值。如果规定连续时间信号在其间断点阶跃型无定义。按这种规定，只要周期信号中不包含冲激及其导数(即所有不连续点