2009年全国初中数学联赛试题及解答.pdf

2009 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题 1. 设a 7 =−1 ，则3a3 +12a2 −6a −12 （ ） A.24. B. 25. C. 4 7 +10 . D. 4 7 +12 . 2 ．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ） A. 7 2 . B. 10. C. 105 . D. 7 3 . 3 ．用[x ] 表示不大于x 的最大整数，则方程x 2 −2[x] −3 0 的解的个数为（ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4 ．设正方形 ABCD 的中心为点O，在以五个点A 、B 、C、D 、O 为顶点所构成的所有三 角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） 3 3 1 4 A. . B. . C. . D. . 14 7 2 7 A D 5 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2 ，以 BC 为直径在矩形内 作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE ，则sin ∠CBE ＝（ ） E 6 2 1 10 A. . B. . C. . D. . B C 3 3 3 10 n −1909 n 为完全平方数的n 的个数是（ ） 6 ．设 是大于 1909 的正整数，使得 2009 −n A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．已知 是实数，若a,b 是关于x 的一元二次方程x2 −2x +t −1 0 的两个非负实根， t 则(a2 −1)(b2 −1) 的最小值是____________. 2 ． 设 D 是△ABC 的边AB 上的一点，作 DE//BC 交 AC 于点 E，作DF//AC 交 BC 于点 m n F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为 和 ，则四边形DECF 的面积为______. 3 ．如果实数a,b 满足条件a2 +b2 1 ，|1−2a +b | +2a +1 b2 =−a2 ，则a +b ______. 15 15 4 ．已知a,b 是正整数，且满足2( + ) 是整数，则这样的有序数对 (a,b) 共有 a b 对.