数理统计课件：估计量的评价标准.pptx

估计量的评价标准

对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同.问题：采用哪一个估计量好？一无偏性三相合性二有效性

设总体X~F(x,?)，其中?为未知参数，X1,X2,…,Xn是来自该总体的样本，为?的一个估计量.估计量是一个随机变量当样本(X1,…,Xn)有观测值(x1,…,xn)时，估计值为当样本(X1,…,Xn)有观测值(y1,…,yn)时，估计值为由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果来判断，而必须根据估计量的分布从整体上来做评价.

当样本取不同的观测值时，希望相应的估计值在未知参数真值附近摆动，而它的均值与未知参数的真值的偏差越小越好.当这种偏差为0时，就导致无偏性这个标准.?

3.4.1无偏性定义3.4.1设为一参数分布族，其中Θ为参数空间.X1,X2,…,Xn是从该分布族中的某总体抽取的样本，?是总体分布中的未知参数，设为未知参数?的估计量，若对任意??Θ，都有则称为?的无偏估计.

设g(?)为待估参数，为g(?)的估计量，若对任意??Θ，都有则称为g(?)的无偏估计.

记称bn为估计的偏差.如果bn?0，则称为参数?的有偏估计.若则称为参数?的渐近无偏估计.

1无系统性偏差.2由于估计量是随机变量，故评价它是否合理，不能根据一次估计的结果，而应该根据多次反复使用这个统计量的“平均”效果来评价.由此给出无偏估计的“频率解释”.无偏性说明对于无偏估计量，单次的估计值相对于真值，可能偏大，也可能偏小，它无法说明一次估计所产生的偏差，但反复将这一估计量使用多次，平均来说其偏差为0.注意：要求估计量大量重复使用，在多次重复使用下给出接近真值θ的估计.

假定在同一个模型(同样的总体分布与样本容量)下，对同一个参数函数g(θ)用同一个无偏估计进行多次估计，记第i次估计为，由大数定律得尽管一次估计结果不一定恰好等于g(θ)但是在大量重复使用时，多次估计的算术平均值，可以任意接近g(θ).如果这一估计量只使用一次，无偏性这个概念就失去意义.无偏估计量仅在多次重复使用时才显示其优越性.

例3.4.1设总体X的k阶矩E(Xk)存在，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，证明：样本k阶矩是总体k阶矩E(Xk)的无偏估计.证明：由于因此样本k阶矩是总体k阶矩的无偏估计.

则样本均值是总体均值μ的无偏估计，样本方差是总体方差σ2的无偏估计.例3.4.2设总体X的均值为EX=μ，方差为DX=σ2存在，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，则

证明：

例3.4.3设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，且X~N(μ,σ2),其中μ,σ2为未知参数，，x1,x2,…,xn是样本的观察值，试用极大似然估计法求参数μ，σ2的估计量，并问是否是无偏估计.由于μ和σ2的极大似然估计为解:

又由得因此是μ的无偏估计，不是σ2的无偏估计.但是是σ2的渐近无偏估计.

例3.4.4设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，且X的密度函数为其中?0为未知参数，证明：因为X的分布函数为证明：和nU=n{min(X1,X2,…,Xn)}都是?的无偏估计.故是?的无偏估计

先求U的分布函数独立性

对其求导数得到U的密度函数为：即U的分布函数为

指数分布U的密度函数为由指数分布的性质知：因此，nU也是?的无偏估计.故有：

例3.4.5设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，总体均值为?=EX，证明与