高等数学公式(专升本).doc

江苏省专转本考试《高等数学》

复习指导

(二)倒数关系

(三)平方关系

(四)二倍角公式

五．数列的公式

(一)等差数列

（1）

（2）

几个常见等差数列的和

（1）

（2）

（3）

(二)等比数列

（1）

（2）

几个常见等比数列的和

（1）

（2）

（3）

（4）

注:这几个公式在级数中会用到,尤其是级数的间接展开法.

六．几个常见裂项公式

七．球的公式八．扇形公式

第1章函数、极限与连续

第一部分基本内容

一．函数的基本概念

两个要素：定义域与对应法则

二．六类基本初等函数

三．函数的四个几何性态

(一)奇偶性

若函数的定义域关于原点对称，对于任意，有

显然，若函数的定义域不关于原点对称，则其一定是非奇非偶函数

(二)周期性（通常指最小正周期）

(三)单调性

(四)有界性

对于任意，存在，使得成立，则称为区间上的有界函数．

四．关于复合函数．

1.

由复合而成

2.

由复合而成

分解的基本原则：由外到内，层层分解，每步都是基本初等函数或类似基本初等函数（简单函数）

五．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或复合，并且能用一个式子表示的函数．（我们研究的函数都是初等函数）

六．关于极限问题（描述性定义）

注意：极限记为的情况，属于极限不存在的情况．

七．数列的三个特性

注意：逻辑关系

1.收敛数列一定有界，有界数列不一定收敛．

2.无界数列一定发散，发散数列不一定无界．

3.单调有界数列必收敛

八．两类重要极限及其推广

两类重要极限

推广：

注意：利用等价无穷小的近似代换在求极限时，主要用于乘除运算，一般不用于加减运算．

例如，当时，下列近似代换经常用到

，

变形形式如：

另外，下列公式求极限时也经常用到

此结论可以作为公式使用.

九．无穷大量与无穷小量

注意：不能孤立地说一个函数是无穷大还是无穷小，它离不开自变量的变化趋势．

十．关于无穷小的性质与定理

十一．关于无穷小的阶的比较

设，都是在自变量的同一趋势下的无穷小

(1)如果=0，则称是比高阶的无穷小，记作0

(2)如果=，则称是比低阶的无穷小.

(3)如果=，则称与同阶无穷小，特别是如果，则称与是等价无穷小，记作～

十二．夹逼定理

定理如果,,满足下列两个条件

(1)对于的某一空心邻域内的一切有成立，

(2)

则有

十三．关于连续与间断点

定义1如果函数=()在点满足

(1)在点的某邻域内有定义（含点）

(2)存在

(3)

则称函数=在点处连续，否则称函数在点处间断.

剖析：同时满足三个条件，缺一不可

(1)有定义，存在

(2)有极限，存在

(3)极限值=函数值，

定义2设函数在点的某邻域内有定义，如果有成立，

则称函数在处连续.

十四．间断点及其分类

前提：是间断点

第一类间断点

第二类间断点

十五．闭区间上连续函数的性质

定理(最值定理)在闭区间[a,b]上的连续函数一定有最大值和最小值.

注意：若定理的条件不满足，则结论可能不成立.例如函数在区间(0,1)内连续，但在开区间(0,1)内既无最大值也无最小值.

推论若函数在闭区间上连续，则它在该区间上有界.

定理(介值定理)若在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]内能取得介于其最小值和最大值之间的任何数.

定理(零点定理)设函数在[a,b]上连续，且与异号，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得.

这一定理说明，若闭区间[a,b]上的连续曲线在端点处的函数值异号，则该连续曲线与轴至少有一个交点.

注:要证明根的唯一性时，要用到函数的单调性．

说明：闭区间上的连续函数的图像，象山的轮廓线一样，高低起伏、连绵不断，有波峰（最大值），也有波谷（最小值）．

第二部分典型例题

专题一：关于函数值及表达式

1.若，，求

答案：

2.若，求

答案：

3.若，求

答案：

4.若，求的表达式

答案：

5.若，，求，

答案：，

6.若可微，且，求

答案：

7.若，求

答案：

8.若存在，且，求

答案：

9.若，求

答案：

10.设，求

答案：

专题二：关于奇偶性及应用．

11.判断下列函数的奇偶性．

答案：奇函数

答案：奇函数

答案：奇函数

答案：是偶函数

答案：是奇函数

12.求下列定积分

答案：，

专题三：关于极限问