2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)模拟卷01(全国高中数学联赛)(学生版+解析).docx
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2025年全国高中数学联合竞赛
一试全真模拟试题1
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．已知函数是定义在上的偶函数，则的值为．
2．若关于z的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根．
3．设数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为．
4．已知向量均为单位向量，则的最小值为．
5．在梯形ABCD中，，M为CD边的中点，动点P在BC边上，与的外接圆交于点Q（异于点），则BQ的最小值为．
6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，过的右焦点F且斜率为3的直线与交于两点，与的渐近线交于两点．若，则．
7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是．
8．用表示11元集合的三元子集的全体．对中任意一个三元子集，定义，则的值为．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本题满分16分）已知，二次函数存在零点，求的最小值．
10．（本题满分20分）在中，．在AB边上取五等分点，其中顺次排列．记，求的值．
11．（本题满分20分）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行），斜率为的直线与抛物线交于两点．若是正三角形，求的取值范围．
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2025年全国高中数学联合竞赛
一试全真模拟试题1参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．已知函数是定义在上的偶函数，则的值为．
答案：0．
解：由于是偶函数，故，所以
．
2．若关于z的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根．
答案：．
解：由题意得，解得．因此，所以．
3．设数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为．
答案：631．
解：事实上，．而当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，因此的前32项和为
．
4．已知向量均为单位向量，则的最小值为．
答案：2．
解：设向量的夹角为，其中，则
．
令，则．因此在单调递减，单调递增，所以的最小值为．
因此的最小值为2，此时．
5．在梯形ABCD中，，M为CD边的中点，动点P在BC边上，与的外接圆交于点（异于点），则BQ的最小值为．
答案：．
解：由熟知的结论，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点，故点Q在的外接圆上，如图所示．
而是直角三角形，故其外接圆半径．在中，由余弦定理，，所以BQ的最小值为，此时P在线段BC上，且．
6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，过的右焦点F且斜率为3的直线与交于两点，与的渐近线交于两点．若，则．
答案：．
7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是．
答案：．
解：设圆台上底面为圆，半径为，下底面为圆，半径为，圆台母线为．
由圆台的侧面积为可得，故①．
由侧面展开是圆心角为的扇形所截得的扇环，可得，故②．
因此圆台的高，圆台的体积
．
结合①②可得．由于，故．令，则，进而可得．
令，则．因此在上单调递增，故．所以，即圆台体积的取值范围是．
8．用表示11元集合的三元子集的全体．对中任意一个三元子集，定义，则的值为．
答案：990．
解：不妨将集合A视为（这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个的值）．
对每个，定义，则，且．
由于当T遍历的所有三元子集时，也遍历的所有三元子集，所以
．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本题满分16分）已知，二次函数存在零点，求的最小值．
解：令，则且．
由题意得，即，故．考虑，则在上单调递增．所以
，
当时等号成立．因此的最小值为．
10．（本题满分20分）在中，．在AB边上取五等分点（顺次排列）．记，求的值．
解：在AB延长线上任取一点，记，则所求式子即为．
为方便，记．作于